Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 4 (2015)

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

1-12 250
Аннотация
В 1955 г. были опубликованы общие теоремы А.Б. Шидловского, которые позволяют свести проблему алгебраической независимости значений аналитических функций одного класса к более простой задаче алгебраической независимости этих функций. Т. к. обобщенные гипергеометрические функции с рациональными параметрами являются функциями, к которым применимы упомянутые общие теоремы, то появилось много работ, в которых устанавливалась алгебраическая независимость таких функций (и их производных). Результаты А.Б. Шидловского обобщают и развивают известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля. Кроме метода Зигеля для решения задач об арифметической природе значений аналитических функций используются также методы, основанные на эффективном построении линейных приближающих форм. С помощью таких методов были получены наиболее точные оценки линейных форм и были установлены многочисленные результаты, касающиеся арифметических свойств значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Это показывает, что эффективные методы имеют определенное значение для развития теории трансцендентных чисел. В последнее время в связи с исследованием арифметических свойств значений продифференцированных по параметру гипергеометрических функций потребовались результаты о линейной независимости таких функций над полем рациональных дробей. Подобные исследования проводились и раньше в связи с приложениями общих теорем А.Б. Шидловского, однако, поскольку при этом решалась более трудная задача об алгебраической независимости, приходилось рассматривать функции весьма частного вида. В настоящей работе изучается линейная независимость гипергеометрических функций, продифференцированных по параметру, причем этот параметр входит как в числитель, так и в знаменатель общего члена соответствующего степенного ряда. Установлено условие (в некоторых случаях являющееся необходимым и достаточным) линейной независимости таких функций, которое весьма удобно для проверки в конкретных случаях. Результаты статьи получены с помощью вычисления некоторых определителей, которые естественным образом возникают в связи с рассматриваемыми задачами. В дальнейшем доказанные в настоящей работе теоремы можно будет использовать для получения различных утверждений об арифметической природе значений соответствующих функций.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0817328

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

13-40 281
Аннотация
Обратимые дифференциальные операторы возникают при решении многих математических задач. Среди них задачи преобразования и классификации систем дифференциальных уравнений с использованием C-преобразований. А именно, C-преобразованиями называются обратимые преобразования, при которых переменные одной системы выражаются через переменные и производные зависимых переменных по независимым второй системы. Отсутствие удобного описания C-преобразований сдерживает развитие теории их применения. C-Преобразования линейных систем интерпретируются как обратимые линейные дифференциальные операторы. В случае нелинейных систем линеаризация C-преобразования интерпретируется как обратимый линейный дифференциальный оператор. Поэтому исследования обратимых линейных дифференциальных операторов следует рассматривать как первый шаг к описанию C-преобразований как линейных, так и нелинейных систем. Данная работа является второй работой, посвященной описанию обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной и их обобщений. В первой работе каждому обратимому линейному дифференциальному оператору была сопоставлена таблица чисел, которая описана на наглядном элементарно-геометрическом языке. Таким образом, обратимому оператору поставлена в соответствие элементарно-геометрическая модель, которая называется d-схемой квадратов. При этом одному классу принадлежат те, и только те обратимые операторы, которые имеют одинаковые таблицы. Обратимый оператор определяется своей таблицей неоднозначно. В предыдущей работе приведены математические структуры, которые в совокупности с d-схемой квадратов определяют некоторые обратимые операторы из соответствующего класса. Однако описания всех обратимых операторов с данной d-схемой там не было получено. В данной работе получено полное описание всех обратимых линейных дифференциальных операторов с данной d-схемой. Кроме того, этот результат и результаты первой статьи обобщены на обратимые отображения фильтрованных модулей, порожденных одним дифференцированием. К таким отображениям относятся, в частности, линеаризации C-преобразований систем с управлением и отображения, определенные унимодулярными матрицами. Результаты статьи могут быть использованы для описания C-преобразований систем с управлением и классификации таких систем.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952

41-53 348
Аннотация
В работе методом преобразования Фурье решается краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона в области, ограниченной двумя параллельными гиперплоскостями в R^n. Решение представлено в виде суммы интегралов, ядра которых найдены в конечном виде. В частности построена функция Грина оператора Лапласа для задачи Дирихле, через которую записывается решение задачи. В случае если заданные граничные значения являются обобщенными функциями медленного роста, решение задачи Дирихле для однородного уравнения (Лапласа) записывается в виде свертки ядер с этими функциями.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

54-65 386
Аннотация
Один из методов построения локализирующих множеств основан на использовании функций, определенных на фазовом пространстве системы - так называемый функциональный метод локализации. В статье с помощью данного метода получены оценки положения инвариантных компактных множеств автономной системы Lorenz-84, используемой при построении некоторых метеорологических моделей. Рассмотрен простейший вариант системы с отсутствующими термическими перегрузками, и общий вариант системы, в которой при некоторых значениях параметров возникает хаотическая динамика. При всех значениях параметров системы описано компактное локализирующее множество.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812317

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

66-80 239
Аннотация
Предложен новый метод для бесконтактного мониторинга параметров дыхания человека с помощью двух веб-камер, образующих стереопару. Метод базируется на анализе полученных изображений и использует алгоритмы компьютерного зрения. Предложен подход к построению карты диспаратности и улучшению соотношения сигнал/шум для анализируемых изображений. Основным результатом исследования является алгоритм выделения дыхательного профиля на основе карт глубин, полученных при обработке стереопары изображений. Основным отличием предложенного метода от известных является более высокая точность и возможность получения профиля дыхания в режиме реального времени. Приведен пример применения разработанного метода для оценки параметров дыхания человека.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0813373

81-92 172
Аннотация
Для нелинейной динамической модели клеточной популяционной системы, включающей два вида клеток, рассматривается задача определения маргинальных законов распределения оценок параметров модели с использованием ограниченной выборки экспериментальных данных. Предлагается методика проверки гипотез о маргинальных законах распределения оценок параметров, основанная на использовании методов численного моделирования. Эта методика включает идентификацию параметров нелинейной модели и проверку адекватности полученной модели с найденными оценками параметров, идентификацию начальных данных и определение опорной траектории. С использованием опорной траектории и датчика нормально распределенных случайных чисел генерируются наборы данных об измеренных численностях популяций в заданные моменты времени. Для каждого такого набора решается задача получения оценок параметров системы. По рассчитанному набору оценок параметров проводится проверка гипотезы о виде маргинального закона распределения каждого из параметров. Приведено описание численного примера. Полученные маргинальные законы распределения оценок параметров могут быть в дальнейшем использованы для оценки вероятностей реализации различных сценариев развития популяционной системы.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812686

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

93-110 580
Аннотация
В работе рассматривается алгоритм построения численного решения контактной задачи теории упругости применительно к телу, которое имеет выраженное одностороннее дискретное контактное взаимодействие с абсолютно упругим полупространством. Особенностью рассматриваемого алгоритма является специально разработанная процедура коррекции касательных сил в дискретных контактных точках, позволяющая добиться достаточно точного выполнения принятого закона трения. Алгоритм встроен в общую конечно-элементную технологию, с помощью которой создана прикладная программа. Исследована вычислительная эффективность алгоритма с помощью решения модельных задач.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0801840



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)