Статья посвящена качественному анализу одной непрерывной динамической системы лоренцевского типа. Поведение системы от значений входящих в нее параметров. При некоторых значениях параметров в системе возникает динамический хаос. Исследованы положения равновесия этой системы. Для нулевого положения равновесия получена полная классификация типов в зависимости от параметров системы, включая вырожденные случаи. для двух других положений равновесия получены условия устойчивости. Также проведено исследование некоторых бифуркаций положений равновесия системы. Так, исследована ситуация, когда в системе возникает бифуркация Андронова - Хопфа, приводящая к возникновению предельных циклов.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0789497

Проводится качественный анализ предложенной Виноградовой М.С. нелинейной модели динамики клеточной популяционной системы, описывающей развитие стволовых клеток в лабораторных условиях при наличии ограничений на ресурсы. Система состоит из двух популяций --- популяции нормальных и популяции аномальных клеток. Одним из ключевых параметров, влияющих на реализацию сценария развития системы, является параметр, определяющий долю нормальных клеток, переходящих при делении в популяцию аномальных клеток. Проведен анализ условий существования точек покоя, а также анализ изменения сценариев развития популяционной системы при изменении указанного параметра и фиксированных остальных параметрах системы. Показано наличие в системе седло-узловой бифуркации, найдено бифуркационное значение параметра. Приведены результаты математического моделирования.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0811443

В статье исследуется вопрос о возможности глобальной стабилизации при наличии возмущений двумерных аффинных систем со скалярным управлением и скалярным возмущением, для которых соответствующие системы без возмущений эквивалентны регулярным системам канонического вида. Получены легко проверяемые условия того, что построенная на основании регулярного канонического вида функция Ляпунова для системы с управлением будет функцией Ляпунова для системы с возмущениями. Приведены примеры применения полученных условий к некоторым классам аффинных систем и результаты численного моделирования процесса стабилизации при наличии различных возмущений двумерной аффинной системы с возмущениями.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0789645

В работе проводится исследование модели раковой опухоли. Анализ развития заболевания при лечении и без него позволит построить схему лечения в случае ее раннего диагностирования. Для качественного анализа свойств модели были исследованы две связанные с ней двумерные системы. Одна из них определяет развитие раковой опухоли при отсутствии лечения. Ее исследование позволило проследить динамику развития болезни и определить размер опухоли при котором наступает летальный исход. Вторая система определяет развитие раковой опухоли при постоянной концентрации ингибитора (при лечении постоянными дозами лекарства). Исследование этой системы показало, что такого лечения недостаточно для поддержания пациента в безопасном состоянии и необходимо построение некоторой более сложной схемы лечения. При построении новых схем лечения использован метод решения терминальных задач. В результате найдены две схемы --- одноэтапная и многоэтапная, и проанализированы их свойства. Рассмотренная в работе терапия является промежуточным этапом при борьбе с заболеванием. Дальнейшее лечение, целью которого является уничтожение раковых клеток, может быть продолжено другим антиангиогенным методом. Компьютерное моделирование переходных процессов в рассматриваемых системах динамики развития раковой опухоли проведено в среде MATLAB.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0790877

С использованием вариационного подхода получена двойственная вариационная формулировка задачи электрокинетики применительно к композиту, диэлектрическая матрица которого модифицирована дисперсными металлическими включениями, покрытыми слоем электроизоляции в целях предотвращения эффекта перколяции при увеличении объемной концентрации включений. Эта формулировка включает два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), которые на истинном решении задачи имеют одинаковые экстремальные значения, и позволяет установить двусторонние границы возможных значений электрической проводимости рассматриваемого композита, а также оценить наибольшую возможную погрешность, которая может возникнуть при использовании в качестве искомого значения электрической проводимости полусуммы установленных границ. Количественный анализ возможных погрешностей (в том числе с использованием подхода, позволяющего сблизить двусторонние границы) показал, что для реальных характеристик матрицы и включений рассматриваемого композита необходимо построение математических моделей, учитывающих особенности его структуры и взаимодействие его структурных элементов. На основе построенного варианта подобной модели получена расчетная зависимость для вычисления электрической проводимости рассматриваемого композита и проведен количественный анализ этой зависимости.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0793596