Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 2 (2015)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-22 193
Аннотация
В статье проводится хронологический обзор исследований операторов с разбегающимися возмущениями. Поясним, что понимается под разбегающимися возмущениями. Элементарным примером оператора с разбегающимися возмущениями является дифференциальный оператор второго порядка с двумя финитными потенциалами, носители которых находятся на большом расстоянии друг от друга, то есть, "разбегаются". Изучением таких операторов занимались ещё с середины прошлого столетия в основном зарубежные учёные (см., например, работы Ahlrichs R., Aktosun T., Klaus M., Aventini P., Aventini P., Exner P., Davies E.B., Graffi V., Harrell II E.V, Silverstone H.J., Mebkhout M., Höegh-Krohn R., Hunziker W., Kostrykin V., Schrader R., Morgan J.D.(III), Pinchover Y., Reity O.K., Tamura H., Wang X., Wang Y., Kondej S., Simon B., Veselič I., Борисов Д.И., Головина А.М.). Главными объектами их исследований были асимптотические поведения собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённых операторов. Имеется также несколько работ, в которых исследовались резольвенты и собственные значения возмущённого оператора, возникающего из края существенного спектра. Основными результатами работ прошлого столетия являются первые поправки асимптотик возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций, а также первые поправки асимптотик резольвент данных возмущённых операторов. Главными результатами работ последних пятнадцати лет являются полные асимптотические разложения для собственных значений и соответствующих им функций и явная формула для резольвенты возмущённого оператора.В настоящей работе также отмечается, что вплоть до 2004 года в качестве возмущающих операторов рассматривались лишь различного рода потенциалы, а невозмущёнными операторами были операторы Лапласа и Дирака. Лишь с 2004 года в работах по данной тематике начинают встречаются непотенциальные возмущающие операторы, а вместо операторов Лапласа и Дирака в качестве невозмущённого оператора с 2012 года начинает рассматриваться произвольный эллиптический дифференциальный оператор.В статье предложена классификация исследований операторов с разбегающимися возмущениями, основанная на спектральных свойствах рассматриваемых операторов:1. Исследования собственных значений и соответствующих им собственных функций оператора Лапласа с разбегающимися потенциалами. • в случае простого предельного собственного значения; • в случае кратного предельного собственного значения.2. Исследования резольвенты оператора Лапласа с несколькими разбегающимися потенциалами.3. Исследования асимптотического поведения собственных значений, возникающих из края существенного спектра невозмущённого оператора. В заключении сформулируем проблемы по данной тематике, которые так и остались нерешёнными:1. Как ведут себя собственные значения и соответствующие им собственные функции, возникающих из края существенного спектра? При каких условиях они возникают? Как выглядит их асимптотическое разложение?2. Как выглядят первые поправки возмущённых собственных значений в случае произвольного конечного числа разбегающихся возмущений?

DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

23-36 698
Аннотация
В множестве современных летательных аппаратов квадрокоптер относится к беспилотным летательным аппаратам (БПЛА), относительно дешевым и простым для проектирования. Квадрокоптеры способны летать в плохую погоду, зависать в воздухе на достаточно длительное время, вести наблюдение за объектами и выполнять много других задач. Они нашли свое применение в спасательных операциях, в сельском хозяйстве, в военном деле и в многих других областях. Для квадрокоптеров актуальны задачи планирования маршрутов и управления. Эти задачи имеют много разных вариантов, в которых учитываются и ограниченные ресурсы современных БПЛА, и необходимость учета возможных препятствий, например, при организации полетов в пересеченной местности или в городской среде, и учет погодных условий (в частности, ветровой обстановки). Этим задачам посвящено много исследований, отраженных в целом ряде публикаций (отметим интересный обзор [1] по теме и ссылки в нем). Для синтеза управления этими аппаратами использовались самые разные подходы и методы: линейные аппроксимации [2], метод скользящих режимов [3], метод накрытий [4] и др. В данной статье квадрокоптер рассматривается как твердое тело. Анализируются кинематические и динамические уравнения движения. Выделяются два случая движения: в вертикальной и в горизонтальной плоскостях. Управление строится с помощью приведения управляемой аффинной системы к каноническому виду [5] и использования метода нелинейной стабилизации [6].

DOI: 10.7463/mathm.0215.0789477

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

37-49 200
Аннотация
Композиты о своей структуре является неоднородным материалом (гетерогенным твердым телом), в котором принято выделять матрицу и включения. Матрица в композите выполняет роль связующего между включениями, свойства которых в основном и определяют область применения композита. Подбор характеристик матрицы и включений дает возможность удовлетворять требованиям к материалам, применяемым в различных областях техники. Наряду с широким использованием композитов в качестве конструкционного или теплозащитного материала они находят применение как функциональные материалы в разнообразных электротехнических устройствах и приборах, в том числе в качестве диэлектриков. Для композита-диэлектрика одной из важнейших характеристик является относительная диэлектрическая проницаемость, определяемая прежде всего диэлектрическими свойствами матрицы и включений, а также формой и объемной концентрацией включений.Для композита с дисперсными включениями можно построить адекватные математические модели, дающие возможность достаточно достоверно прогнозировать зависимость его диэлектрической проницаемости от указанных определяющих параметров. Среди различных подходов к построению таких моделей можно выделить использованный в данной работе вариационный подход, позволяющий не только установить эту зависимость, но и получить гарантированные двусторонние границы области возможных значений диэлектрической проницаемости композита, используемой для оценки наибольшей возможной погрешности вычисляемых значений. Рассмотрен представительный элемент структуры композита с включениями шаровой формы, моделирующими форму дисперсных включений с размерами, близкими во всех направлениях. Для этого представительного элемента получено распределение электростатического потенциала, допустимое для минимизируемого функционала, входящего в вариационную форму математической модели, описывающей диэлектрическое свойства рассматриваемого композита. Из равенства значений этого функционала на полученном допустимом распределении в представительном элементе структуры композита и на распределении в равновеликом элементе однородной среды с искомой диэлектрической проницаемостью композита найдена зависимость этой величины от диэлектрических характеристик матрицы и включений и от объемной концентрацией включений.Количественный анализ полученной зависимости в широком интервале определяющих параметров показал, что все результаты расчетов расположены в области возможных значений, определяемой построенными двусторонними оценками. Это подтверждает адекватность использованного вариационного подхода и возможность его применения для прогноза диэлектрических характеристик композитов с дисперсными включениями.

DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

50-68 454
Аннотация
На основе спектрального разложения корреляции Эйлера несущей среды получена система замкнутых функциональных уравнений для спектров Лагранжа тяжелой инерционной частицы и флуктуаций скорости несущей среды на траектории частицы. При расщеплении четвертых моментов используется приближение квазинормальности и аппроксимация флуктуаций скорости частиц случайным процессом Гаусса. Предложен приближенный самосогласованный метод решения полученной системы функциональных уравнений. Спектр корреляций Эйлера флуктуаций скорости среды моделируется распределениями Кармана. Исследовано влияние инерции частиц, скорости осредненного скольжения и микроструктуры флуктуаций скорости среды на параметры хаотического движения примеси. Показано, что отличие во временных интегральных масштабах корреляции Эйлера и Лагранжа связано с пространственной микроструктурой флуктуаций скорости среды. Установлено, что в отсутствии массовых сил коэффициент стационарной диффузии инерционных частиц всегда выше, чем коэффициент диффузии безынерционной примеси. Проиллюстрирована зависимость коэффициента турбулентной диффузии примеси от структурного параметра турбулентности.

DOI: 10.7463/mathm.0215.0776054



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)