Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 6 (2020)

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 

1-12 99
Аннотация

Настоящая работа посвящена исследованию булевых функций, имеющих аффинные аннигиляторы. Были получены результаты в двух следующих направлениях: оценке количества исследуемых функций и связи коэффициентов Уолша-Адамара произвольной булевой функции с наличием у нее аффинного аннигилятора. Исследованию количества булевых функций с аффинными аннигиляторами посвящен второй раздел настоящей работы. Данная величина была ограничена сверху и снизу. Помимо этого была получена асимптотическая оценка числа булевых функций, имеющих аффинные аннигиляторы. В третьем разделе проводится исследование коэффициентов Уолша-Адамара булевых функций, имеющих аффинные аннигиляторы. Вначале раздела представлен результат, связывающий спектр произвольной булевой функции с ее расстоянием до пространства аннигиляторов произвольной аффинной функцией. Из этого результата была получена зависимость расстояния между произвольной булевой функцией и множеством функций с аффинными аннигиляторами от спектра данной булевой функции. Было получено необходимое и достаточное условие наличия у произвольной булевой функции аффинного аннигилятора. Благодаря полученным зависимостям удалось вывести ограничение на абсолютные значения коэффициентов Уолша-Адамара произвольной булевой функции.

Также был предложен метод анализа булевых уравнений, основанный на сочетании двух известных ранее методах. А именно, на методах анализа булевых уравнений с применением аннигиляторов и с применением линейных статаналогов. Была получена оценка вероятности успешности предложенного метода для анализа булева уравнения с произвольной булевой функцией. Было установлено, что бент-функции являются наиболее устойчивыми к данному методу анализа.

Полученные результаты могут быть использованы для анализа булевых уравнений. Зависимости, полученные в настоящей работе, могут быть использованы, например, для исследований бент-функций и свойства алгебраической иммунности булевой функций.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 

13-27 65
Аннотация

Классические модели многофазной фильтрации, основанные на законе Дарси, достаточно хорошо исследованы и активно применяется в современном нефтяном инжиниринге. Однако, подобные модели не позволяют эффективно описывать процессы с эффектами степенной памяти или с эффектами пространственной нелокальности. В последние годы наблюдается значительный рост интереса к моделям с производными и интегралами дробного порядка, позволяющими учитывать подобные эффекты.

В статье рассматривается дробно-дифференциальное по пространству обобщение двухфазной модели нелетучей нефти. Данная модель построена на основе дробно-дифференциальной модификации закона фильтрации Дарси с потенциалом Рисса, который является одним из возможных обобщений понятия дробного интеграла на случай многомерного пространства. Использование такой модификации закона Дарси позволяет эффективно моделировать фильтрационные процессы в неоднородных трещиновато-пористых средах с эффектами пространственной нелокальности.

Для численного решения системы уравнений полученной модели предложено использование метода IMPES. Для этого из представленной системы уравнений выделено одно уравнение, описывающее эволюцию давления. Данное уравнение записано при условии пренебрежения изменением капиллярного давления в пределах шага по времени.

Рассмотрен частный случай уравнения на давление с потенциалом Рисса от радиальной функции, описывающий изменение давления в случае плоскорадиального течения. Для данного уравнения построено автомодельное решение с использованием метода интегрального преобразования Меллина. Получено представление данного решения в виде контурного интеграла Меллина-Барнса, что позволило записать его через функции Фокса. Показано, что в случае нулевой степени потенциала Рисса выполняется предельный переход к автомодельному решению классического уравнения теплопроводности. Построенное автомодельное решение может быть использовано в дальнейшем при программной реализации численного решения представленной модели.

Главным направлением дальнейших исследований является разработка и реализация программного вычислительного комплекса, основанного на предложенном дробно-дифференциальном обобщении двухфазной модели нелетучей нефти.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ 

28-36 60
Аннотация

Рассматривается один из численных методов решения задач рассеяния электромагнитных волн на системах, образованных параллельно ориентированными цилиндрическими элементами – двумерных фотонных кристаллах. Метод основывается на классическом методе разделения переменных при решении волнового уравнения. Суть метода заключается в представлении поля в виде суммы первичного поля и неизвестного  рассеянного на элементах среды вторичного поля. Математическое выражение для  последнего записывается в виде бесконечных рядов по элементарным волновым функциям с неизвестными коэффициентами. В частности, поле, рассеянное на N элементах, ищется в виде суммы N дифракционных рядов, в которой один из рядов составлен из волновых  функций одного тела, а волновые функции в остальных  рядах  выражены через собственные волновые функции первого тела при помощи теорем сложения. Далее из удовлетворения  граничным условиям на поверхности  каждого  элемента получаются системы линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных – искомых коэффициентов разложения,  которые разрешаются стандартными  способами. Особенностью метода является использование аналитических выражений, описывающих дифракцию на одиночном элементе системы. В отличие от большинства численных методов данный подход при его использовании позволяет получить информацию об амплитудно-фазовых или спектральных характеристиках поля только в локальных точках структуры. Отсутствие необходимости определения параметров поля во всей области пространства, занимаемой рассматриваемой многоэлементной системой, обуславливает высокую эффективность данного метода. В работе сопоставляются результаты расчета спектров пропускания двумерных фотонных кристаллов рассматриваемым методом с экспериментальными данными и численными результатами, полученными с использованием других подходов. Демонстрируется их хорошее согласие.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)