Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 5 (2020)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

1-12 855
Аннотация

Для полубесконечного слоя дано решение смешанных краевых задач Дирихле — Неймана и Дирихле — Неймана — Робена для уравнения Лапласа, использующее полученное ранее решение смешанной краевой задачи Дирихле — Неймана для слоя.

Функции в правых частях граничных условий считаются функциями медленного роста, в частности, полиномами. Решение краевых задач также ищется в классе функций медленного роста. Продолжая функции в правых частях граничных условий на верхней и нижней сторонах полубесконечного слоя с полугиперплоскости на всю гиперплоскость, получаем задачу Дирихле — Неймана для слоя, решение которой известно и записывается в виде свертки. В случае если правые части граничных условий являются полиномами, то и решение является полиномом. К полученному решению нужно прибавить решение задачи для полубесконечного слоя с однородными граничными условиями на верхней и нижней сторонах и с неоднородным граничным условием Дирихле, Неймана или Робена на боковой стороне. Это решение записывается в виде ряда. Если взять конечный отрезок ряда, то получим решение, точно удовлетворяющее уравнению Лапласа и граничным условиям на верхней и нижней сторонах полубесконечного слоя и приближенно удовлетворяющее граничному условию на боковой стороне.

Рассмотрен пример решения задач Дирихле — Неймана и Дирихле — Неймана —Робена, описывающий температурное поле полубесконечной пластины, верхняя сторона, которой теплоизолирована, на нижней стороне задана температура в виде полинома, а боковая сторон либо теплоизолирована, либо на ней поддерживается нулевая температура, либо происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Для первых двух задач Дирихле — Неймана решение получается в виде полиномов. Для третьей задачи Дирихле — Неймана —Робена решение получается в виде суммы полинома и ряда. Если в этом решении ряд заменить его конечным отрезком, то получится приближенное решение задачи, которое приближенно удовлетворяет условию Робена на боковой стороне полубесконечного слоя.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 

13-32 814
Аннотация

Получены условия взаимозамещаемости конечномерных, бесконечномерных, и дискретных моделей динамики автономных процессов и на примере одномерных процессов показано, что при определенном соотношении параметров моделей и соответствующем выборе начальных функций эти условия удовлетворяются. Показано, как при соблюдении условий взаимозамещаемости, процесс, порожденный обыкновенным дифференциальным уравнением, можно представить в функциональном пространстве траекторией дискретной динамической системы.

Рассматриваются динамические модели в классе обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Поскольку пространства решений таких уравнений различны в общем случае: конечномерное арифметическое пространство для решений обыкновенного дифференциального уравнения и бесконечномерное функциональное пространство для решений дифференциального уравнения запаздывающего типа, проблема приводимости моделей динамики к единообразной форме связана с представлением процессов в обоих типах пространств. На основе механизмов взаимозамещаемости моделей динамики исследуемого процесса предложены способы приведения моделей динамики к единообразной форме

Результаты проверяются непосредственными вычислениями на конкретных примерах. Взаимозамещаемость используется для сравнения разнонаправленных процессов, представленных различными типами динамических моделей. Приведены примеры моделей ошибки сравнения одномерных разнонаправленных процессов, представленных динамическими моделями различных типов и имеющих различный характер поведения. Точность модели сравнения запаздывающего типа иллюстрируется примером численного моделирования.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ 

33-44 784
Аннотация

Модель экспоненциальной авторегрессии является дискретным аналогом нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка типа типа осцилляторов Дуффинга и ван дер Поля. Она используется для описания нелинейных стохастических процессов с дискретным временем, таких как вибрации автомобиля, качка корабля, электрические сигналы в коре головного мозга. При применении модели на практике одной из важных задач является ее идентификация, в частности, оценивание параметров модели по наблюдениям описываемого ей стохастического процесса. Традиционным методом оценивания авторегрессионных параметров является нелинейный метод наименьших квадратов. Его недостатком является высокая чувствительность к ошибкам измерения наблюдаемого процесса. Этого недостатка в значительной мере лишен метод М-оценивания. Построение М-оценок основано на минимизационной процедуре невыпуклой функции нескольких переменных. В работе изучается эффективность нескольких известных методов минимизации для нахождения М-оценок параметров экспоненциальной авторегрессионной модели. В работе показано, что наилучшую и приблизительно одинаковую точность показали алгоритм последовательного квадратичного программирования, алгоритм активного набора и алгоритм внутренней точки. Не уступая им по времени немного уступает им по точности квазиньютоновский алгоритм. Эти алгоритмы имели приблизительно одинаковое быстродействие и были в полтора раза быстрее алгоритма Нелдера-Мида и в 14 раз быстрее генетического алгоритма. Наихудшую точность показали алгоритм Нелдера-Мида и генетический алгоритм. Было обнаружено, что все алгоритмы чувствительны к начальным условиям. Параметры, от которых авторегресионное уравнение зависит линейно, оцениваются  на порядок точнее параметра, от которого уравнение авторегресии зависит нелинейным образом.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)