Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 1 (2020)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-15 60
Аннотация

Существует довольно много работ, в которых рассматриваются локальные бифуркации кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Исследовались также локальные бифуркации гладких векторных полей на плоскости, обратимых относительно инволюции. В настоящей работе вводятся обратимые динамические системы, заданные кусочно-гладкими векторными полями на координатной плоскости (x, y) , для которых линия разрыва у = 0 совпадает с множеством неподвижных точек инволюции системы. Рассматриваются типичные однопараметрические возмущения такого векторного поля. Описаны бифуркации особой точки О векторного поля, лежащей на этой линии в двух случаях. В первом случае точка О – грубое седло гладких векторных полей, совпадающих с кусочно-гладким векторным полем в полуплоскостях y > 0 и y < 0. Параметр можно выбрать так, что при значениях параметра меньших или равных нулю динамическая система имеет в окрестности точки О единственную особую точку с четырьмя гиперболическими секторами. При положительных значениях параметра в окрестности точки О имеется три особых точки, квазицентр и два седла, сепаратрисы которого образуют простой замкнутый контур, ограничивающий ячейку из замкнутых траекторий. Во втором случае О – грубый узел соответствующих векторных полей. Параметр можно выбрать так, что при значениях параметра меньших или равных нулю динамическая система имеет в окрестности точки О единственную особую точку, а все остальные траектории замкнуты. При положительных значениях параметра в окрестности точки О имеется три особых точки, два узла и квазиседло, две сепаратрисы которого идут в узлы.

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

16-32 62
Аннотация

Первая известная модель электрической активности сердца была предложена нидерландским физиологом и основоположником электрокардиографии В. Эйнтховеном [10]. Позже Ван дер Поль и Ван дер Марк [11] построили модель сердца, где сердцебиение рассматривается как релаксационное колебание. С этой точки зрения для моделирования работы кардиостимуляторов можно использовать уравнение Ван дер Поля [14,15,19]. В данной работе моделируется работа только одного узла сердца — сино-атриального узла (САУ), являющегося основным кардиостимулятором сердца [20].

Многие алгоритмы управления динамическими системами базируются на обратной связи, в которой задействуется полный вектор состояния динамической системы. Однако на практике полный вектор состояния известен не всегда. Так, в случае электрической активности сердца измеряют потенциалы узлов, а скорости их изменения не измеряются. Для восстановления полного вектора состояния по имеющимся измерениям часто применяют наблюдатели состояния.

В данной работе решается задача построения наблюдателя с линейной динамикой ошибки [22,25]. Необходимым условием существования такого наблюдателя является наблюдаемость системы. Достаточные условия можно сформулировать в рамках дифференциально-геометрического подхода [25] с использованием идей двойственности [25,26]. В рамках этого подхода можно разработать алгоритм построения наблюдателя. В работе для двумерных систем решается общая задача построения наблюдателя, затем полученные результаты применяются к модели кардиостимулятора на основе осциллятора Ван дер Поля. Работа построенного наблюдателя иллюстрируется путем численного моделирования.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

33-49 65
Аннотация

В статье основное внимание уделено методам исследования явления двухфазных турбулентных течений. Изучается влияние турбулентности на характер движения твёрдых частиц в вязком газе. Динамика движение частиц в газе записывается в приближении Стокса, что позволяет считать время динамической релаксации постоянной величиной. Случайная скорость газа моделируется суммой двух коррелированных случайных шумов. Показано, что такой подход позволяет моделировать шумы любой структурной сложности. Изложены два метода исследования, основанные на принципиально разных подходах Эйлера и Лагранжа к описанию сплошной среды. Первый подход использует известное обобщение техники спектрального анализа для случайных процессов – популярного метода при изучении турбулентности. Второй подход реализуется на основе современных обобщений теории численных алгоритмов для решения стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений. Спектральным методом получены аналитические выражения корреляционных функций и дисперсий случайных процессов, описывающих скорость газа и твердых частиц. Проанализировано качественное отличие корреляции флуктуаций модулированной случайных скоростей от поведения корреляций в случае однокомпонентного состава скорости газа. Предложен и детально разобран метод прямого численного моделирования изучаемых процессов, на основе численного решения системы стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений. Собран и обработан массив статистических данных, полученных в результате прямого численного моделирования. Аналитические результаты качественно сопоставляются с численными.  Исследовано влияние входных параметров на характер турбулентного течения. Время динамической релаксации оказывает существенное влияет на сложность автокорреляционной функции скорости частиц и функцию отклика частиц на флуктуации скорости газа. Показано, что полученные функции стремятся к известным результатам стандартной теории. Рассмотренные методы описания двухфазных турбулентных течений являются перспективными для будущих исследований.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)