Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 5 (2019)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-14 39
Аннотация

Классическое уравнение Бюргерса хорошо исследовано и часто используется в задачах гидродинамики и нелинейной акустики. В последние годы наблюдается значительный рост интереса к математическим моделям, учитывающих эффект степенной памяти среды. Такие модели описываются уравнениями, в которых производная по времени заменена на производную дробного порядка.

Объектом исследования является обобщенное уравнения Бюргерса с дробной производной Римана-Лиувилля по времени. Влияние памяти среды предполагается малым, поэтому из порядка дробного дифференцирования выделяется малый параметр, по которому выполняется разложение в ряд дробной производной. В результате исходное дробно-дифференциальное обобщение уравнения Бюргерса приближается уравнением с малым параметром. Целью работы является исследование симметрийных свойств такого дифференциального уравнения в частных производных с малым параметром и построение законов сохранения для него. Для достижения цели используются методы современного группового анализа, а также широко известные методы интегрирования систем и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Проведена групповая классификация исследуемого уравнения по функции, стоящей при первой производной по пространственной переменной. Показано, что если эта функция произвольного вида, то допускаемая приближенная группа точечных преобразований является трехпараметрической. Если функция степенная или линейная, то допускаемая приближенная группа точечных преобразований расширяется до пяти- и семипараметрической, соответственно. Построены примеры приближенно инвариантных решений для некоторых допускаемых операторов.

Доказано, что исследуемое уравнение с малым параметром является приближенно нелинейно самосопряженным. На основе принципа нелинейной самосопряженности для каждого оператора группы построены законы сохранения. Показано, что все законы сохранения являются либо тривиальными, либо имеют вид исходного уравнения.

Результаты развивают теорию приближенных групп преобразований для дробно-дифференциальных уравнений. Найденные симметрии могут быть использованы для построения приближенных инвариантных решений рассматриваемого уравнения.

15-31 45
Аннотация

Линейные матричные дифференциальные уравнения представляют большой интерес для различных областей науки и техники. Так, к исследованию линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений во многих случаях приводит построение решений терминальных задач для нелинейных систем управления. Недавно было показано, что решение задачи Коши для линейного матричного дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами симметрично в односвязной области комплексной плоскости тогда и только тогда, когда все производные решения, вычисленные в силу уравнения, симметричны в начальной точке. В настоящей работе мы решаем проблему симметричности решений линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений с коэффициентами конечной степени гладкости. Прежде всего, мы доказываем достаточное условие симметричности решения на заданном интервале. Чтобы проверить, является ли решение задачи Коши для уравнения симметричным на интервале, требуется построить две специальные матричные последовательности и вычислить в силу уравнения производные высших порядков исследуемого решения. Если все производные до некоторого порядка включительно симметричны в начальной точке и матричные последовательности удовлетворяют заданному набору свойств, то исследуемое решение симметрично на всем интервале. Полагая, что предложенное условие выполнено, мы устанавливаем формулу, описывающую симметричное решение уравнения. Мы показываем, как эта формула позволяет построить симметричное решение в случае, когда непосредственное интегрирование уравнения представляется затруднительным. Мы также демонстрируем, как с помощью полученной формулы можно построить оценки симметричных решений. Это особенно важно в случае, если непосредственное применение полученной формулы не упрощает вычисления, необходимые для нахождения решений исходного уравнения.

Дальнейшие исследования в этой области могут быть направлены на построение новых оценок для границ спектра симметричных решений линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений. Результаты настоящей работы будут интересны специалистам в нелинейной теории управления, в особенности тем, кто занимается построением решений терминальных задач.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

32-48 32
Аннотация

Цель работы состоит в оценке минимального числа узлов равномерной сетки (максимального шага интегрирования), необходимого для достижения назначенной точности конечно-разностных методов Рунге-Кутты первого и второго порядков точности для модельного уравнения Далквиста.

Аналитически исследуется погрешность конечно-разностных методов путем явного сравнения значений точных решений дифференциальной и разностной задач Коши в узлах равномерной сетки по модулю, а глобальная погрешность определяется максимумом модулей̆ локальных погрешностей̆ на выбранной̆ сетке. Оценки глобальной̆ погрешности получаются из неравенств, основанных на разложениях функций экспоненты и логарифма в ряды Тейлора и Меркатора, и явно зависят от количества узлов равномерной сетки.

Найдены оценки нижних границ числа узлов равномерной сетки, необходимые для достижения назначенной̆ точности сеточного решения задачи Коши указанными методами.

Полученная в работе оценка глобальной погрешности прямого метода Эйлера для модельного уравнения Далквиста существенно уточняет аналогичную оценку из работы (Hairer E., and Lubich C. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations) и показывает возможность использования большего примерно в 1,7 раза значения шага интегрирования с сохранением заданной точности аппроксимации.

Порядок точности конечно-разностных схем в теории численных методов интегрирования дифференциальных уравнений связывает глобальную погрешность метода с шагом интегрирования, однако не позволяет напрямую выразить точность аппроксимации на заданной сетке, и поэтому оптимальный шаг интегрирования чаще всего определяется экспериментально. В работе такая связь исследована на модельном примере явно, и показан один из возможных способов получения аналитических оценок шага интегрирования при заданной точности аппроксимации.

Непосредственное изучение глобальной погрешности конечно-разностных схем имеет значение в задачах, где важен компромисс между точностью аппроксимации и сложностью (объемом вычислений), когда количество узлов сетки имеет значение. В этой связи представляет интерес распространение аналогичных исследований оценки погрешности на другие конечно-разностные схемы: методы Рунге-Кутты более высоких порядков точности и многошаговые методы.

Результаты работы могут быть полезны в задачах компьютерного моделирования и машинного обучения.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)