Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 3 (2019)

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

1-24 86
Аннотация

В статье описывается алгоритм, осуществляющий перестановку элементов матрицы посредством циклических сдвигов строк и столбцов. Дано формальное описание клеточного автомата (КА), реализующего данный алгоритм. Для этого используется квадратная решётка размера n×n с замкнутыми границами и окрестность клетки типа фон Неймана.

В результате вычислительного эксперимента для начальных порядков матрицы n установлено, что через достаточно большое число шагов алгоритм переводит матрицу в исходную, т.е. имеет период N. Для нечётных порядков матрицы рост N как функции n оказывается быстрее экспоненциального.

Проведён анализ движения отдельных элементов матрицы. Показано, что они перемещаются по аналогии с бильярдными шарами. Элемент двигается под углом 45° к границам матрицы и меняет направление при достижении границы. Найдена явная зависимость периода движения элемента от его начального положения в матрице. На основе этой зависимости доказано, что глобальный период N равен наименьшему общему кратному всех нечетных чисел, меньших 2n, т.е. N=НОК(3,5,…,2n-1).

Динамика пермутаций проанализирована с помощью введенных авторами двух «метрик», отражающих степень перемешанности. Одна из метрик вводится специально для матрицы, другая — для линейного массива и зависит от способа преобразования матрицы в одномерный массив. Поиском перестановок с экстремальными значениями метрик установлено, что в результате пермутаций матрицы чётных порядков подвергаются блочной перестановке. В случае же нечётного порядка матрица претерпевает поворот на ±90° и на 180° (отражение относительно центра). При этом направление вращение зависит от порядка n. Например, при n=5 вращение происходит против часовой стрелки, а при n=7 — по часовой стрелке.

Алгоритм может быть использован для генерации псевдослучайных чисел, в пользу чего косвенно говорит величина его периода. Период может быть существенно увеличен небольшим усложнением алгоритма, например, введением различных длин для циклов смены направления столбцов и строк. Останавливая алгоритм в случайный момент времени, текущую перестановку матрицы можно рассматривать как массив случайных чисел или же преобразовать её каким-либо способом в одно случайное число.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

25-35 117
Аннотация

При борьбе с терроризмом в современных вооруженных конфликтах широко используются боевые машины, и в том числе танки. Актуален вопрос минимизации собственных потерь единиц техники и личного состава при разгроме противника. Для решения этой задачи в статье рассмотрены отдельные события истории Великой Отечественной войны, которые связаны с действиями танков из засад. Построена математическая модель боя. Приведен граф состояния системы. Используя приведенный граф, рассчитаны вероятности поражения танков и соотношения математических ожиданий потерь. Данная математическая модель обобщает ранее опубликованные в данном журнале модели, построенные с использованием аппарата цепей Маркова. Приведен пример расчётов по этой модели в частном случае, в котором за основу взяты экспериментальные данные. Получены соотношения математических ожиданий потерь противоборствующих сторон. Далее авторами рассмотрены математические модели, в которых предполагаются известными вероятности выполнения экипажами танков операций по обнаружению целей в процессе стрельбы. С развитием техники и её математическом обеспечении это становиться все более реальным. По приведенному в графу состояний с использованием известных вероятностей перехода из одного состояния в другое, приведены формулы получения вероятности поражения танков. В каждой из трех рассмотренных математических моделей приведен граф состояния системы, позволяющий вычислить вероятности поражения танков. Проведен анализ моделей, подтверждающий существенную зависимость соотношения потерь противодействующих сторон от количества огневых позиций, которые использованы танком в засаде в случае, если смена этих позиций производится незаметно для противника. Рассмотренные авторами в статье модели на примерах исторических событий подтверждают, что тактика организации и проведения засад при ведении танковых боев, может быть успешно использована и в наше время, когда значительно вырастает техническая оснащенность противоборствующих сил. Полученные результаты могут быть применены при организации и проведении танковых засад в современных вооруженных конфликтах и борьбе с террористическими формированиями.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

36-44 28
Аннотация

В работе изучается арифметическая природа значений обобщенных гипергеометрических функций и их производных. Для решения такой задачи часто используют метод Зигеля. Первым шагом соответствующего рассуждения является построение с помощью принципа Дирихле функциональной линейной приближающей формы, имеющей высокий порядок нуля в начале координат.

Гипергеометрическая функция задается в виде суммы степенного ряда, коэффициентами которого являются произведения значений некоторой рациональной функции. Взятые с противоположным знаком нули числителя и знаменателя этой рациональной функции называются параметрами соответствующей обобщенной гипергеометрической функции. Если параметры иррациональны, то применить метод Зигеля, как правило, не удается. В этом случае применяют метод, основанный на эффективном построении линейной приближающей формы.

Дополнительные трудности возникают в случае, когда отличен от тождественной единицы числитель рациональной функции, участвующей в формировании коэффициентов рассматриваемой гипергеометрической функции. В этой ситуации даже наличие эффективной конструкции приближающей формы еще не гарантирует возможность получения арифметического результата. В данной работе рассматривается именно такой случай. Для преодоления возникающих здесь трудностей значения соответствующей гипергеометрической функции и ее производных берутся лишь в малых точках, а на параметры функции наложены дополнительные ограничения.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)