Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 2 (2019)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1-28 35
Аннотация

В работе излагается математическая модель и методика решения широкого класса задач топологической оптимизации адгезивного соединения для получения оптимальной микроструктуры и градиентных свойств с целью снижения уровня напряжений, возникающих за счет действия как термических, так и механических нагрузок в нем.

Адгезивные сединения имеют преимущества перед альтернативными методами соединения. В работе показано, что наиболее перспективной стратегией оптимизации адгезива является введение градуировки свойств по толщине или вдоль адгезивного слоя.  Подход заключается в модификации свойств материала или геометрии адгезива, изменяющихся вдоль шва.

Во всех известных авторам работах оптимизации подлежали форма соединяемых элементов, или форма и расположение адгезивного слоя. Применение методов топологической оптимизации для определения оптимального распределения/изменения свойств градиентности самого адгезивного слоя не использовалось.

В работе проанализированы напряжения, возникающие в паяных соединениях, показано, что за счет малой толщины припоя в нем основными являются напряжения сдвига. Напряжения сдвига концентрируется вблизи концов припоя, и имеют наименьшие значения в середине. Целью задачи оптимизации является снижение пиковых значений напряжений сдвига и отслаивания в слое припоя. Топологическая оптимизация микроструктуры припоя заключается в поиске наилучшего распределения заданного количества припоя по области для достижения минимальных пиковых значений напряжений. Преимущество использования топологической оптимизации состоит в том, что микроструктура припоя не должна быть известна априори, и, таким образом, любые конструкции могут быть оптимизированы без предварительного исследования влияния исходных геометрических параметров на прочность соединения.

Алгоритм реализован на базе метода конечных элементов и метода подвижных асимптот. Рассмотрен ряд примеров с целью получения оптимальной для снижения пиковых значений напряжений сдвига и отслаивания микроструктуры припоя в трехслойном пакете.

Результаты показывают, что полученные оптимальные микроструктуры значительно снижают пиковые напряжения в слое припоя по сравнению с однородным слоем. Полученные результаты раскрывают потенциал разработанного алгоритма и показывают, что он может применяться для практических случаев.

29-47 37
Аннотация

Сегнетоэлектрические материалы по ряду характеристик ведут себя как эредитарные среды с фрактальной структурой. Для математического моделирования систем с эффектом памяти используют дробную производную по времени. Пироэлектрические свойства сегнетоэлектриков обуславливают интерес к развитию дробно-дифференциального подхода к моделированию процесса теплопроводности.

Работа посвящена разработке и численной реализации фрактальной модели процесса теплопроводности эредитарных сред на основе концепций дробно-дифференциального исчисления в приложении к описанию процессов интенсивного нагрева сегнетоэлектрических материалов.

Предложена математическая модель процесса теплопроводности, формализованная с помощью смешанной начально-граничной задачи для уравнения с частными производными, включающего производную дробного порядка по времени и нелинейную зависимость теплоемкости от температуры. Сконструирован вычислительный алгоритм решения задачи на основе аналога конечно-разностной схемы Кранка – Николсон с использованием формулы Грюнвальда – Летникова для аппроксимации производной дробного порядка по времени. Аппроксимация граничного условия Неймана учитывается в модифицированных уравнениях при переходе от дифференциальной задачи к конечно-разностной на основе введения фиктивных узлов сетки. Итоговая система линейных алгебраических уравнений решается методом прогонки.

Разработана прикладная программа, позволяющая проводить компьютерное моделирование процесса теплопроводности для эредитарных сред в одной из частных постановок. Проведена проверка адекватности результатов численного моделирования на тест-задаче. Результаты компьютерного моделирования продемонстрированы для прикладной задачи – оценки температурного распределения в образце типичного сегнетоэлектрика триглицинсульфата при интенсивном, по отношению к температуре фазового перехода, тепловом нагреве. Приближенно оценен порядок дробного дифференцирования (~0.7) на основе сравнения результатов реализации фрактальной модели (при варьировании данного параметра) с экспериментальными данными по оценке времени достижения температуры Кюри. Это свидетельствует о необходимости использования модифицированных моделей при анализе полевых эффектов, возникающих в эредитарных средах.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

48-62 20
Аннотация

Данная работа посвящена изложению некоторых методов исследования интегрируемости уравнения определенного типа, мало изученных в теории дифференциальных уравнений. Известно, что значительная часть дифференциальных уравнений не интегрируется, то, естественно, представляет научный интерес разработка методов их исследования. Полученные результаты, сформулированные в виде теорем и утверждений, представляют научный и практический интерес в силу важности для приложений в современной науке.

В работе указан альтернативный метод исследования интегрируемости как линейного, так и нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. С помощью введения параметров разработан метод исследования интегрируемости обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Сформулированы теоремы с изложением некоторых общих условий интегрируемости линейного уравнения второго порядка. Здесь же рассмотрены частные случаи интегрируемости, являющихся следствием вышеизложенных фактов.

На основе полученного метода параметра приведены некоторые общие условия интегрируемости нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, указаны следствия этих общих условий.

Получены новые результаты, связанные с построением и разработкой методов исследования дифференциального уравнения, к которому сводятся некоторые типы дифференциальных уравнений. Заложены основы для глубоко и системного исследования введенного специального нелинейного дифференциального уравнения второго порядка.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)