Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 4 (2018)

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

1-11 63
Аннотация

Данная статья посвящена доказательству одного достаточного условия нерегулярности языков. Это условие связано со свойствами некоторых отношений на множестве натуральных чисел, а именно отношений, обладающих свойством, названное сильной отделимостью. В свою очередь, это свойство связано с возможностью разложения арифметического векторного пространства в прямую сумму подпространств. Мы задаем языки в некотором конечном алфавите через свойства вектора, показывающего числа вхождений каждой буквы алфавита в слова языка и называемого вектором распределения букв в слове. Основной результат статьи состоит в доказательстве теоремы, согласно которой язык, задаваемый таким образом, что вектор распределения букв в каждом слове языка принадлежит сильно отделимому отношению на множестве натуральных чисел, нерегулярен. Такой подход к доказательству нерегулярности основан на известной в теории формальных языков теореме Майхилла-Нероуда, согласно которой необходимое и достаточное условие регулярности языка состоит в конечности индекса некоторого отношения эквивалентности, определяемого языком.

В статье дается определение сильно отделимого отношения на множестве натуральных чисел и рассматриваются примеры таких отношений. Дается также описание конструкции, покрывающей весьма широкий класс сильно отделимых отношений и связанной с разложением векторного пространства четной размерности в прямую сумму подпространств одинаковой размерности. Доказывается лемма, утверждающая существование бесконечной последовательности векторов, любые два члена которой попарно дизъюнктны, т.е. один принадлежит некоторому сильно отделимому отношению, а другой нет. На основании этой леммы доказывается основная теорема о нерегулярности языка, определяемым сильно отделимым отношением.

Этот результат проливает дополнительный свет на эффективность инструментов анализа регулярности/нерегулярности языков, базирующихся на теореме Майхилла-Нероуда. Кроме того, доказанная теорема и анализ некоторых примеров сильно отделимых отношений позволяет установить нетривиальные связи между теорией формальных языков и теорией линейных пространств, что, как показывает анализ источников, является актуальной проблематикой.

В плане развития полученных результатов интерес представляет задача общей характеристики сильно отделимых отношений, а также анализ других свойств числовых множеств, важных с точки зрения анализа регулярности/нерегулярности языков.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

12-26 97
Аннотация

Один из способов познания событий военной истории, состоит в их воспроизведении при помощи математических моделей. На основе анализа боевых действий 4 танковой бригады Красной Армии в районе города Мценска в начале октября 1941 г., обоснована возможность математического моделирования фрагментов этих боевых действий и применения для этих целей аппарата марковских случайных процессов.

Эффективность танков зависит не только от их технических свойств, но и от способов их применения на поле боя. При этом под боевой эффективностью танков обычно понимают их эффективность в условиях, когда способы ведения боевых действий каждой из противодействующих сторон являются наилучшими.

Результат боя — это результат вероятностный, имеющий некую закономерность, зависящую от тактики боевых действий. Бой можно представить, как множество возникавших случайным образом дуэльных боев между танками, различавшихся по месту их расположения и дальностям ведения огня. Изучение вероятности перехода системы из каждого невозвратного состояния в последующие, приводит к построению математических моделей, позволяющих рассчитать соотношение потерь противодействующих сторон.

Опираясь на факты военной истории и обнаруженные закономерности, построены математические модели, позволяющие воспроизвести различные фрагменты боя по схеме марковского случайного процесса, проведены расчеты по ним. Установлена зависимость соотношения потерь противодействующих сторон в зависимости от количества огневых позиций, использованных танками, стоявшим в засаде, при условии, что смена этих позиций производилась незаметно для противника.

Полученные результаты могут быть использованы при разработке тактических приемов применения танков в антитеррористических операциях.

27-44 75
Аннотация

Изучению нестационарных течений разреженного газа в настоящее время уделяется большое внимание. Такой интерес к этим задачам  вызван созданием импульсных струй, используемых при нанесении тонких пленок и специальных покрытий на твердые поверхности. Однако проблемы, связанные с нестационарным течением разреженного газа недостаточно изучены из-за их большой вычислительной сложности. В этой статье рассматриваются вычислительные аспекты исследования нестационарного движения отраженного потока газа от стенки и вытекающего через внезапно образованную щель. Целью этого исследования является анализ возможных численных кинетических подходов для решения таких нестационарных задач и выявление трудностей, возникающих при их решении.

При моделировании процессов, происходящих при сильном разрежении необходимо использовать кинетическое уравнение Больцмана, численная реализация которого, как правило, достаточно трудоемка. Чтобы использовать более простые подходы, основанные, например, на аппроксимирующих кинетических уравнениях (Эллипсоидально-статистической модели, модели Шахова), важно оценить отличие решений модельных уравнений от решения уравнения Больцмана. Для этого рассматриваются две вспомогательные задачи: отражение потока газа от стенки и истечение свободной струи в разреженный фоновый газ.

Численное решение этих задач показывает слабую зависимость решения от типа оператора столкновения в разреженной области, но при этом сильную зависимость поведения макропараметров от шага скоростной сетки. Детальная скоростная сетка необходима, чтобы избежать немонотонного поведения макропараметров, вызванных так называемым эффектом луча. Для уменьшения вычислительных затрат решения на детальной скоростной сетке предлагается гибридный метод, основанный на синтезе модельных уравнений и уравнения Больцмана. Такой подход может быть перспективным, поскольку уменьшает область применения интеграла столкновений Больцмана.

Результаты, представленные в этой статье, получены использованием двух различных программных комплексов Unified Flow Solver (UFS) [13] и Несветай-3Д [14-15]. Отметим, что в UFS реализован метод дискретных ординат для скоростного пространства на равномерной сетке и иерархическая адаптивная сетка в физическом пространстве как для уравнения Больцмана, так и модельных уравнений. Программный комплекс Несветай-3Д создан для решения модельного уравнения Шахова на неструктурированных неравномерных сетках, как в скоростном, так и в физическом пространствах.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

45-61 90
Аннотация
Данная статья продолжает серию работ, посвященных описанию обратимых обыкновенных дифференциальных операторов и их обобщений. Обобщения представляют собой обратимые отображения фильтрованных модулей, порожденных одним дифференцированием, и называются обратимыми D-операторами. Такими операторами являются, в частности, обратимые обыкновенные линейные дифференциальные операторы, обратимые линейные разностные операторы с периодическими коэффициентами, отображения, определенные унимодулярными матрицами, а также С-преобразования систем с управлением. С-Преобразованиями называются такие обратимые преобразования, при которых переменные одной системы выражаются через переменные другой системы и их производные.
Рассматриваются обратимые D-операторы, обратные к которым являются D-операторами того же типа. В предыдущих работах была получена классификация обратимых D-операторов. А именно, каждому обратимому D-оператору была сопоставлена таблица чисел. Эти таблицы были описаны на наглядном элементарно-геометрическом языке. Таким образом, обратимому D-оператору ставится в соответствие элементарно-геометрическая модель, которая называется d-схемой квадратов. Класс обратимых D-операторов, имеющих одну и ту же d-схему, был также описан.
В данной работе обратимые D-операторы, d-схемы которых состоят из одного квадрата, названы одноклеточными. Доказывается, что любой одноклеточный оператор в некоторых базисах задается верхней треугольной матрицей, отличающейся от единичной матрицы только первой строкой. Основным результатом работы является представление произвольного обратимого D-оператора в виде композиции одноклеточных операторов. Минимальное количество одноклеточных операторов в такой композиции равно количеству квадратов d-схемы исходного D-оператора. Как и в предыдущих работах, применяемый метод основан на описании d-схем на языке спектральных последовательностей алгебраических комплексов.
Полученные результаты могут быть полезны при преобразовании и классификация систем с управлением, в частности, для описания плоских систем.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)