Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 3 (2018)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-12 143
Аннотация

В статье рассматривается уравнение Трикоми смешанного типа. Оно эллиптично в верхней полуплоскости, гиперболично в нижней полуплоскости и параболически вырождается на границе полуплоскостей. Уравнения смешанного типа применяются в трансзвуковой газовой динамике. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в смешанной области, вообще говоря, поставлена некорректно. Поиску условий корректности постановки задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в смешанной области посвящено много работ.

Данная работа посвящена отысканию точных полиномиальных решений неоднородного уравнения Трикоми в полосе с полиномиальной правой частью. Методом преобразования Фурье показано, что краевая задача Дирихле с полиномиальными краевыми условиями имеет полиномиальное решение. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры. Если полоса лежит в области эллиптичности уравнения, то это решение единственно в классе функций полиномиального роста. Если полоса лежит в смешанной области, то решение задачи Дирихле не единственно в классе функций полиномиального роста, но оно единственно в классе полиномов.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

13-25 99
Аннотация

При оценивании регрессионных моделей с помощью метода наименьших квадратов, одной из его предпосылок является отсутствие автокорреляции в остатках регрессии. Наличие автокорреляции остатков делает оценки регрессии, полученные методом наименьших квадратов, неэффективными, а стандартные ошибки этих оценок – несостоятельными. Количественно автокорреляцию в остатках регрессионной модели традиционно принято оценивать с помощью критерия Дарбина–Уотсона, представляющего собой отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к сумме квадратов остатков. К сожалению, такой аналитический вид критерия Дарбина – Уотсона не позволяет интегрировать его в виде линейных ограничений в задачу отбора информативных регрессоров, являющуюся, по сути, задачей математического программирования, в регрессионной модели. Задача отбора информативных регрессоров заключается в выделении из заданного числа возможных регрессоров заданного числа переменных на основе некоторого критерия качества. Целью данной работы является разработка и исследование новых критериев для обнаружения автокорреляции остатков первого порядка в регрессионных моделях, которые в дальнейшем могут быть интегрированы в задачу отбора информативных регрессоров в виде линейных ограничений. Для этого в статье предложены модульные критерии автокорреляции, для которых с использованием пакета Gretl сначала экспериментально были определены диапазоны их возможных значений и предельные значения в зависимости от значения выборочного коэффициента авторегрессии. Затем полученные результаты были подтверждены с помощью модельных экспериментов по методу Монте-Карло. Недостатком предложенных модульных критериев адекватности является то, что их зависимости от выборочного коэффициента авторегрессии не являются четными функциями. Для этого предлагаются двойные модульные критерии автокорреляции, которые с помощью специальных приёмов могут быть использованы в виде линейных ограничений в задачах математического программирования для отбора информативных регрессоров в регрессионных моделях.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

26-44 136
Аннотация

Статья посвящена разработке алгоритма решения контактных задач теории упругости. Решение подобных задач зачастую сопряжено с необходимостью использования несогласованных сеток. Их стыковку можно осуществлять как с помощью итерационных процедур, формирующих так называемые альтернирующие методы Шварца, так и с помощью метода множителей Лагранжа или метода штрафа. Построенный в статье алгоритм использует mortar-метод для согласования конечных элементов на линии контакта. Все эти методы стыковки сеток позволяют обеспечить непрерывность перемещений и напряжений вблизи линии контакта. Однако одним из главных преимуществ mortar-метода является возможность независимого выбора различных типов конечных элементов и функций форм как на обеих границах двух тел на линии контакта, так и при интегрировании вдоль нее. Применение данного метода в совокупности с классической формулировкой метода конечных элементов, основанной на минимизации функционала Лагранжа, приводит к формированию системы линейных алгебраических уравнений с седловой точкой. В статье подробно обсуждается ее численное решение, основанное на использовании модифицированного метода симметричной последовательной верхней релаксации.

Результаты работы построенного алгоритма продемонстрированы на трех тестовых контактных задачах. В них анализируется напряженно-деформированное состояние различно нагруженных контактирующих двумерных пластин. Рассмотренные примеры показывают, что вблизи линии контакта сохраняется непрерывность распределений перемещений и напряжений. Универсальность разработанного алгоритма оставляет возможность провести дальнейший анализ эффективности применения mortar-метода при использовании разных видов конечных элементов и функций форм.

45-60 134
Аннотация

Пористые композиционные материалы получили широкое распространение в технике в качестве конструкционных и теплоизоляционных. Наличие пор в таких материалах обусловлено как технологией их изготовления, так и эксплуатационными условиями.

В процессе проектирования изделия из пористого композита одним из наиболее важных факторов является комплекс теплофизических характеристик материала, так как именно он определяет сферу применения материала.

Среди теплофизических свойств ведущую роль играет коэффициент теплопроводности. Этот коэффициент для некоторых пористых материалов может быть определен экспериментально, однако для сокращения затрат времени и ресурсов актуальным является теоретическое исследование этой характеристики.

Теоретическое исследование коэффициента теплопроводности пористого композита позволяет прогнозировать его возможные значения в зависимости от состава материала и его пористости. Такая информация о композите необходима на различных этапах работы с материалом от его получения до изготовления конструкции из него.

Существует множество работ, посвященных подходам к теоретической оценке коэффициента теплопроводности пористого материала. Однако из-за существенного разброса его значений актуальной задачей является построение гарантированных двусторонних оценок возможных значений этой характеристики материала.

Как известно, при построении нижних оценок свойств пористого материала возникают трудности. В данной работе для преодоления этой трудности была использована модификация структурной модели пористого тела совместно с двойственной формулировкой стационарной задачи теплопроводности в неоднородном твердом теле.

Модификация структурной модели пористого тела в данной работе заключается в следующем: полая шаровая частица заменена сплошным шаром с равным внешним радиусом. Сплошной шар в свою очередь представлен составным, состоящим из внутреннего шара из некоторого условного материала и внешнего шарового слоя из материала каркаса рассматриваемого пористого тела. Определению подлежит эквивалентный коэффициент теплопроводности материала внутреннего шара.

Предложенная в работе модификация структурной модели пористого тела позволила получить двусторонние оценки возможного значения этого коэффициента. Также было проведено сравнения полученных оценок с неулучшаемой верхней оценкой такой характеристики.

Приведенные результаты позволят прогнозировать двусторонние оценки коэффициента теплопроводности перспективных теплоизоляционных и конструкционных пористых материалов.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)