Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 6 (2017)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-18 203
Аннотация

Хорошо известно, что задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре имеет единственное полиномиальное решение (гармонический полином) в случае, если заданным граничным значением является след произвольного полинома на сфере. С.М.Никольский обобщил этот результат на случай краевой задачи первого рода для линейного дифференциального самосопряженного оператора порядка 2l с постоянными коэффициентами (в частности полигармонического) и для области, которая является эллипсоидом в Rn Для полигармонического уравнения в шаре (однородного и неоднородного) алгоритм построения полиномиального решения задачи Дирихле на основе формулы Альманси предложен В.В.Карачиком.

В данной работе рассматривается уравнение Пуассона с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гиперплоскостями. Показано, что краевая задача Дирихле и смешанная краевая задача Дирихле-Неймана с полиномиальными краевыми условиями имеет единственное решение в классе функций полиномиального роста, которое является полиномом. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры. В частности получены формулы, дающие точные значения некоторых интегралов (в том числе и многомерных) и сумм тригонометрических рядов.


19-31 279
Аннотация

Активное развитие клеточной терапии в последние десятилетия обусловило большой интерес к культивированию клеточных популяций в лабораторных условиях (in vitro). Одно из направлений клеточной терапии — трансплантология стволовых клеток. Необходимый для трансплантации клеточный материал получают путем культивирования клеток, взятых у пациента. Однако часто возникают проблемы, связанные с генетическими мутациями клеток в процессе культивирования, а именно — перерождение части мутировавших клеток в «бессмертные» (раковые) клетки, что делает трансплантацию такого материала небезопасной для пациента. Лабораторные исследования динамики развития клеточных популяций  требуют существенных затрат, обычно такие исследования проводятся в начале культивирования, в середине процесса, и при завершении процесса культивирования. Детально судить о развитии  клеточной популяции по таким данным сложно. Здесь важную роль играет математическое моделирование.

В работах [8–11] была предложена и  исследована клеточная популяционная система, состоящая из двух видов клеток: нормальных (здоровых)  и аномальных (анеуплоидных). Интерес к  такой популяционной системе вызван тем, что, хотя анеуплоидные клетки и имеют время жизни меньшее, чем нормальные, небольшая часть анеуплоидных клеток может переродиться в практически «бессмертные» раковые клетки, популяция которых со временем может стать доминирующей.

В качественном анализе нелинейных динамических систем стандартной составляющей является информация о количестве точек покоя, их характере и расположении. Ранее [16] было проведено подробное исследование точек покоя и их возможный характер в зависимости от биологических параметров, таких как доли погибающих клеток, среднее время клеточного цикла, доли нормальных клеток, переходящих в популяцию аномальных и т.д. Однако исчерпывающий ответ по этому вопросу не был получен.

В данной работе продолжается исследование двухкомпонентной популяционной модели, рассматривавшейся ранее [9–11,16]. Исследование сосредоточено на нулевом положении равновесия. Уточняются условия устойчивости с учетом того, что динамическая система в силу ее биологического содержания должна рассматриваться в первом квадранте плоскости. Кроме того, проведено исследование нулевого положения равновесия в критических случаях, в которых метод исследования устойчивости по линейному приближению не работает.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

32-39 200
Аннотация

В предлагаемой статье рассматривается проблема оценки и прогноза (с заданным уровнем достоверности) по результатам испытаний элементов основных показателей надежности – коэффициента готовности, среднего времени безотказной работы и коэффициента оперативной готовности (в стационарном режиме) для модели системы с дублированием и независимым восстановлением элементов.

Решение задачи дается для ситуации, которая часто возникает на практике, когда точные значения параметров надежности элементов неизвестны, а известны лишь результаты испытаний системы или ее отдельных частей (элементов, подсистем) на надежность. Необходимо отметить, что задачи доверительного оценивания показателей надежности сложных систем по результатам испытаний их отдельных элементов довольно часто встречаются в инженерной практике при проектировании и эксплуатации различных технических систем. В существующих в настоящее время работах данная проблема рассматривается в основном для систем без восстановления. В статье рассматривается решение этой проблемы для важного частного случая, когда элементы системы дублируются резервными элементами, и отказавшие в процессе функционирования системы элементы восстанавливаются (независимо от состояния других элементов).

Получено приближенное решение данной задачи для случая высокой надежности или «быстрого восстановления» элементов, в естественной, с точки зрения практических приложений, асимптотике, а именно, в предположении, что среднее время восстановления элементов мало по сравнению со средним временем безотказной работы.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

40-53 195
Аннотация

В данной работе рассмотрены особенности применения конечно-элементной технологии для решения задач теории упругости с односторонними связями. Тематика данного исследования с одной стороны определяется тем, что многие ответственные детали и узлы машиностроительных и энергомашиностроительных конструкций имеют выраженный контакт в пределах некоторой заданной поверхности. Для оценки прочности и ресурса таких деталей и узлов необходимо располагать надежной информацией о напряженно-деформированном состоянии. Данные о напряженно-деформированном состоянии можно получить, используя современный аппарат математического моделирования, например, конечно-элементную технологию.

Для решения задач теории упругости с односторонними связями можно использовать метод конечных элементов в традиционном классическом виде, но при этом необходимо учитывать некоторые его недостатки. Наиболее существенным является разрывная аппроксимация напряжений и деформации, а также заметно более низкий порядок сходимости аппроксимации для напряжений и деформации по сравнению с перемещениями. Повышение точности путем увеличения густоты конечно-элементной модели и/или перехода к более сложным аппроксимациям не всегда бывает оптимальным, поскольку увеличение размерности дискретной задачи приводит к значительным вычислительным затратам и использованию дорогостоящих вычислительных средств.

Одним из альтернативных вариантов при численном анализе контактных задач теории упругости является применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов, в которых напряжения и/или деформации входят в разрешающие уравнения наряду с перемещениями как равноправные неизвестные. Основным положительным обстоятельством при использовании смешанных формулировок метода конечных элементов является уменьшение погрешности аппроксимации напряжений и деформации, что и приводит к более точной оценке напряженно-деформированного состояния по сравнению с классическим подходом метода конечных элементов в форме метода перемещений. Кроме того, смешанные схемы метода конечных элементов позволяют обеспечить непрерывность аппроксимации не только перемещений, но и напряжений и деформации. Смешанные схемы решения краевых задач приводят к седловым задачам. Для их решения применяют различные итерационные методы. Одним из наиболее эффективных является модифицированный метод SSOR (метод MSSOR), в основе которого лежит метод последовательной верхней релаксации (SOR – Successive Over Relaxation).

В данной работе рассматривается один из вариантов метода конечных элементов в рамках смешанной схемы, основанной на применении функционала Рейсснера. Процедуры предложенного в работе алгоритма использованы для решения задачи о контактном взаимодействии, когда нагруженное внешними силами упругое тело конечных размеров опирается на абсолютно жесткое полупространство. Контакт происходит по выделенной контактной поверхности, которая в общем случае может менять свои размеры в процессе термомеханического нагружения. Алгоритм реализован в виде комплекса прикладных программ.  Выполненные численные исследования одностороннего контактного взаимодействия упругой пластинки и абсолютно жесткого полупространства показали достаточно высокую эффективность разработанного алгоритма и, реализующего его, программного кода.

54-69 248
Аннотация

Импульсные ксеноновые лампы высокого давления в кварцевой оболочке, работающие в режимах периодического следования импульсов, несмотря на появление источников УФ- излучения других типов остаются важнейшим компонентом технологического оборудования, применяемого в фотохимии, фотомедицине, наноэлектронике, биологии и т.д. Главные их достоинства -  высокая мощность и энергия излучения - несколько обесценивает относительно низкая эффективность излучения в коротковолновой области. Имеющиеся литературные данные о влиянии различных факторов на уровень энергии коротковолнового излучения разрядов в ксеноне нуждаются в систематизации и обобщении, т.к. они получены в условиях неконтролируемого значения пропускания кварцевой оболочки. Пропускание кварца может деградировать со временем и, кроме того,  сильно меняться в течение импульса. Кроме того,  в литературе отсутствует, как правило, детальное описание полного набора условий проведения эксперимента. В итоге анализ факторов, влияющих на  эффективность изучения в УФ- области затруднен, и возникает актуальная задача оптимизации параметров разрядов указанного типа с целью увеличения КПД в области 220-400 нм. Надежной основой для проведения такой работы может служить расчетно- теоретическое исследование с помощью  математической модели источника излучения, реалистично описывающей процессы в плазме ксенона и стабилизирующей оболочке. В работе  показано влияние на  выход излучения диаметра и длины разрядного канала, давления наполнения ксенона, длительности импульса, параметров разрядного контура, тока дежурной дуги. На основе устанавливаемой при моделировании связи внутренних параметров плазмы (температурных распределений, полей концентрации частиц и радиации, динамики электрического сопротивления канала разряда и спектров излучения плазмы) с радиационными характеристиками разряда определены условия, обеспечивающие наибольший выход излучения в УФ- области. Результаты вычислений  подтверждены экспериментальными данными. Полученныйматериал дает важные для практики ориентиры для разработки и правильного выбора источника излучения коротковолнового диапазона.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

70-82 325
Аннотация

При решении практически значимых задач глобальной оптимизации целевая функция зачастую имеет высокую размерность и вычислительную сложность, а также нетривиальный ландшафт. Исследования показывают, что зачастую одного метода оптимизации недостаточно для эффективного решения такого рода задач – необходима гибридизация нескольких методов оптимизации.

Одним из перспективных современных направлений в этой области являются меметические алгоритмы, МА, который можно рассматривать как сочетание популяционного поиска глобального оптимума и процедур локального уточнения решений (мемов), которое дает синергетический эффект. Поскольку существует относительно немного теоретических исследований, посвященных тому, какую конфигурацию МА рекомендуется использовать для решения black-box задач оптимизации, многие исследователи склоняются именно к адаптивным алгоритмам, которые в процессе поиска самостоятельно подбирают наиболее эффективные методы локальной оптимизации для определённых областей пространства поиска.

Авторами предложена мульти-меметическая модификация простого алгоритма SMEC, использующая случайную гиперэвристику. Представлена программная реализация алгоритма, а также используемых мемов (метод Нелдера-Мида, метод случайного поиска по поверхности гиперсферы, метод Хука-Дживса). Выполнено сравнительное исследование эффективности предложенного алгоритма в зависимости от набора и числа мемов. Исследование проводилось с использованием многомерных тестовых функций Растригина, Розенброка и Захарова. Вычислительные эксперименты проводились для всех возможных комбинаций мемов и для каждого мема в отдельности.

По результам исследования с использованием метода мульти-старта успешными оказались комбинации мемов, включающих в себя метод Хука-Дживса. Данные результаты свидетельствуют о быстрой сходимости метода к локальному оптимуму по сравнению с другими мемами, так как все методы выполняют не более фиксированного числа итераций.

Анализ среднего числа итераций показывает, что использование наиболее эффективных наборов мемов позволяет отыскать оптимальное решение за меньшее число итераций по сравнению с менее эффективными наборами. Дополнительно следует отметить, что не наблюдается зависимости общего числа итераций алгоритма от количества используемых мемов.

Результаты исследования демонстрируют, что метод Хука-Дживса оказался наиболее эффективным для выбранных функций, так как его наличие в наборе мемов позволяет существенно улучшить качество получаемого решения.  При этом результаты статистических тестов показывают, что использование дополнительных методов в наборе мемов, зачастую не оказывает значительного влияния на результаты работы алгоритма.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

83-94 154
Аннотация

В исследованиях арифметических свойств значений гипергеометрических функций можно выделить два направления: метод Зигеля и методы, основанные на эффективном построении линейной приближающей формы. Известны также методы, сочетающие оба названных подхода. Методом Зигеля получены наиболее общие результаты, относящиеся к упомянутым задачам. Этим методом во многих случаях удалось установить алгебраическую независимость значений соответствующих функций. Хотя эффективные методы не позволяют получать столь общие утверждения, они все же обладают некоторыми достоинствами. Среди этих достоинств можно выделить по крайней мере два: большая точность получаемых количественных результатов и возможность рассмотрения гипергеометрических функций с иррациональными параметрами.

В настоящей работе эффективная конструкция применяется для получения оценки меры линейной независимости значений гипергеометрических функций над мнимым квадратичным полем. Сами функции выбираются специальным образом, чтобы можно было продемонстрировать новый подход к эффективному построению линейной приближающей формы. Этот подход позволяет также распространить известные способы эффективного построения линейных приближающих форм для полилогарифмов на функции более общего вида.

Для получения арифметического результата потребовалось также установить линейную независимость изучаемых функций над полем рациональных дробей. Непосредственно применить известные теоремы, дающие соответствующие достаточные (а в ряде случаев и необходимые) условия, по-видимому, нельзя. По этой причине был разработан специальный технический прием, позволивший решить эту задачу.

В работе получены арифметические результаты о значениях целых функций, но с соответствующими изменениями можно переформулировать доказанные теоремы и для случая гипергеометрических рядов с конечным радиусом сходимости. В перспективе можно будет рассмотреть и случай иррациональных параметров, но здесь предстоит еще преодолеть ряд трудностей, характерных для задач такого типа.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)