Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 4 (2017)

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

1-17 260
Аннотация

Конечные автоматы широко используются в теории формальных языков, при реализации автоматного подхода к программированию, а также при синтезе алгоритмов логического управления. Для обеспечения однозначности работы алгоритмов синтезированные конечные автоматы должны быть детерминированными. В рамках подхода к синтезу управлений мобильными роботами, например, основанному на применении теории формальных языков, возникают задачи построения различных конечных автоматов, однако такие конечные автоматы, как правило, не будут детерминированными. Алгоритм детерминизации может быть применен к конечным автоматам, заданным различными способами. Наиболее просто основные идеи алгоритма детерминизации можно объяснить, используя представления конечного автомата в виде взвешенного ориентированного графа.

В работе рассматриваются конечные автоматы, представленные как взвешенные ориентированные графы, и подробно разбирается процедура детерминизации конечных автоматов, представленных указанным образом. Приведено подробное изложение алгоритма детерминизации конечных автоматов. Работа алгоритма детерминизации проиллюстрирована большим количеством примеров.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

18-27 195
Аннотация

Современная теория устойчивости для систем дифференциальных уравнений основана на понятии устойчивости по Ляпунову, результатах А.М. Ляпунова и некоторых их обобщениях. В качестве главного метода исследования устойчивости положений равновесия используют анализ первого приближения системы. В литературе этот метод известен как первый метод Ляпунова. Однако этот метод не позволяет делать заключения в критическом случае и тогда может быть использован второй метод Ляпунова, также называемый прямым методом Ляпунова.

Прямой метод Ляпунова основан на существовании функции с определенными свойствами. Функция должна быть положительно определена. Если в некоторой окрестности положения равновесия производная функции в силу системы не положительна, то она называется функцией Ляпунова. Существование функции Ляпунова означает, что положение равновесия устойчиво.

Роль функции Ляпунова не сводится лишь к установлению факта устойчивости положения равновесия (или более сильного свойства асимптотической или экспоненциальной устойчивости). Она дает нижнюю оценку области устойчивости положения равновесия, которая может быть важна в теории управления. Таким образом, построение функции Ляпунова — важная задача даже в том случае, когда факт устойчивости положения равновесия уже установлен.

При этом универсальных методов построения функции Ляпунова для автономной системы дифференциальных уравнений нет. Для решения задачи используют различные численные методы, в которых трудно обеспечить важное условие — дифференцируемость строящейся функции. В то же время условие дифференцируемости в методе Ляпунова не является существенным и связано лишь с характером применяемого математического аппарата. Поэтому важны обобщения метода Ляпунова, направленные на отказ от сильных условий гладкости функции. Одно из таких обобщений — использование производной Дини. Использование производной Дини позволяет строить, например, кусочно-линейные функции Ляпунова.

Соответствующие результаты, связанные с производной Дини, редко входят в стандартные монографии, и цель настоящей статьи — сделать эти результаты более доступными.

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

28-41 222
Аннотация

В статье ставится задача и приводятся два возможных варианта вычисления верхней границы анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной системы с мультипликативными шумами. Указывается причина невозможности применения стандартных процедур для вычисления анизотропийной нормы. Из-за присутствия шумовых составляющих становится невозможным построить «наихудший» формирующий фильтр, который генерировал бы входную последовательность с заданным уровнем средней анизотропии, на которой бы достигался максимум коэффициента усиления в виде индуцированной нормы. Поскольку не существует алгоритма для точного вычисления анизотропийной нормы, ставится задача поиска условий, при которых анизотропийная норма будет ограничена некоторым числом. Основной результат заключается в построении мажоранты анизотропийной нормы путем введения аналогичных систем без мультипликативных шумов. Первый метод представляет собой поиск модели системы с параметрической неопределенностью, анизотропийная норма которой не меньше, чем у исходной системы. Второй метод заключается в декомпозиции исходной системы на две подсистемы с новыми выходами, сумма которых эквивалента первоначальному выходу. Указан недостаток и преимущество каждого подхода. Оба метода основываются на применении леммы о вещественной ограниченности, которая широко используется в анизотропийной теории. На основе этой леммы решение исходной задачи о поиске верхней границы анизотропийной нормы сводится к разрешимости специальной системы матричных неравенств и уравнений. Поскольку полученные матричные неравенства и уравнения представляют собой выпуклые ограничения относительно неизвестных матриц, то решение таких специальных систем возможно найти с помощью методов полуопределенного программирования, пакет программ которых можно найти в среде MATLAB, используя в качестве решателя SeDuMi. В статье приводится результаты вычисления анизотропийной нормы колебательной механической системы для разного уровня средней анизотропии внешнего возмущения каждым из описанных методов. Полученные оценки анизотропийной нормы сведены в таблицу. Статья заканчивается заключением.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)