Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 3 (2017)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1-12 219
Аннотация

В настоящее время исследование Земли и ее геометрии вызывает широкий интерес исследователей различных сфер науки. Проведен ряд исследований, посвященных исследованию движения Земли относительно центра масс. Методами теоретической и небесной механики и математической статистики доказано, что в главном приближении движение Земли относительно центра масс – колебания полюса – есть объединение двух окружностей с медленным трендом среднего положения, отвечающих годичной и чандлеровской компонентам.

Проведен анализ существующей математической модели (ММ) процесса колебаний полюса Земли относительно центра масс. Зависимости колебаний полюса Земли относительно центра масс с течением времени описываются решением дифференциальных уравнений небесной механики Эйлера — Лиувилля. Неизвестные коэффициенты в уравнениях находятся с использованием численного метода наименьших квадратов посредством обработки ежесуточных данных, представленных международной службой вращения Земли (МСВЗ). Отмечено, что рассмотренная ММ не позволяет адекватно данным наблюдений МСВЗ описать процесс колебаний полюса Земли на длительном интервале времени (до 10 лет), расхождение достигает 20%.

Впервые предложен метод описания и прогнозирования координат полюса Земли с течением времени с использованием метода нечеткой логики Такаги — Сугено. Разработанный метод проверен на адекватность, расхождение не превысило 4% на всем временном интервале. Предложен подход к описанию изменения координат полюса Земли с использованием семи первых членов ряда функции Вейерштрасса. Предложенный метод имеет относительно высокое расхождение с данными МСВЗ (от 5 до 50%), однако позволяет описать процесс колебаний полюса Земли, как и метод, в основу которого положен метод нечеткой логики Такаги — Сугено, на длительном интервале времени.

13-31 258
Аннотация

Рассматривается гранула катализатора с пористой керамической пассивной основой и с точечными активными центрами, на которых происходит экзотермическая реакция синтеза. Скорость химической реакции зависит от температуры по закону Аррениуса. С поверхности гранулы тепло отводится в продукты синтеза за счет теплоотдачи. В нашей работе впервые предложена модель для расчета стационарной температуры гранулы катализатора с локальными центрами реакции. Расчет температуры активных центров основан на идее самосогласованного поля. Вначале считается, что мощности тепловыделения центров реакции известны. На основе найденного аналитического решения, описывающего распределение температуры внутри гранулы, рассчитывается средняя температура центров реакции, которая затем подставляется в формулу для тепловыделений. Полученная система трансцендентных алгебраических уравнений преобразуется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений релаксационного типа и решается численно до достижения стационарного значения. В качестве примера рассмотрена гранула катализатора синтеза Фишера–Тропша с активными микрочастицами металлического кобальта. Микрочастицы кобальта являются центрами экзотермической реакции синтеза высокомолекулярных углеводородов. Синтез происходит в результате абсорбции компонентов синтез-газа на металлическом кобальте. Найдено распределение температуры внутри гранулы для одиночного локального центра и центров реакции, расположенных на одном диаметре гранулы. Установлено существование критической температуры реактора, превышение которой приводит к существенному перегреву локальных центров – тепловому взрыву. Распределение температуры с локальными центрами реакции качественно отличается от температуры гранулы, рассчитанной в гомогенном приближении. Показано, что в отличие от гомогенного приближения температура поверхности гранулы с локальными центрами не может служить однозначным критерием теплового состояния центров синтеза внутри гранулы.    

Работа поддержана фондом РФФИ грант № 17-08-00376.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

32-43 178
Аннотация

Рассматривается задача исследования устойчивости положений равновесия динамических систем второго порядка. Представлено описание метода исследования, основанного на построении функции Ляпунова. Метод применим для исследования положений равновесия, которые являются экспоненциально устойчивыми.

Одним из методов анализа характера устойчивости положений равновесия систем обыкновенных дифференциальных уравнений является поиск функции Ляпунова. Необходимо, чтобы найденная функция удовлетворяла набору условий. На сегодняшний день не существует универсальной технологии построения функций Ляпунова. Разработаны подходы, позволяющие строить функции Ляпунова разного вида. Известна методика построения функции Ляпунова, основанная на решении уравнения Зубова [1, 2]. Ее недостатком является необходимость решения дифференциального уравнения в частных производных. В ряде работ функция Ляпунова задается кусочно на различных сеточных разбиениях областей, содержащих положения равновесия системы. В литературе представлены исследования возможностей построения функций Ляпунова для различных способов задания треугольной сетки.

В данной работе описан метод построения кусочно-линейной функции Ляпунова на треугольной сетке. Представлен алгоритм триангуляции области, внутри которой находится положение равновесия системы. В основе данного метода лежит решение задачи линейного программирования. Переменными являются значения функции Ляпунова в узлах сетки и дополнительные константы, которые обеспечивают выполнение условий, налагаемых на искомую функцию. Представленная процедура построения функции Ляпунова является итеративной. Строится начальная триангуляция пространства состояний системы. В случае если решение задачи линейного программирования не существует на текущем шаге, происходит уплотнение сетки и новый поиск решения задачи с новым количеством переменных.

Проанализирована работоспособность описанного алгоритма для различных значений параметра для динамической системы второго порядка. Показано, что количество требуемых итераций зависит от значения параметра. Большое количество итераций влечет за собой существенные вычислительные затраты. Эффективность алгоритма сильно различается в зависимости от собственных значений якобиана системы в положении равновесия. Планируется разработка техники построения функции Ляпунова, которая применима для более широкого класса динамических систем.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

44-63 230
Аннотация

Цель работы состоит в численном анализе асимптотической устойчивости положений равновесия автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе приведённого в статье критерия асимптотической устойчивости и функционального метода локализации инвариантных компактов. В работе сформулированы необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости в терминах инвариантных компактов и положительно инвариантных множеств и описан функциональный метод локализации. Приведены соответствующие теоремы о локализации инвариантных компактов динамических систем.

Для исследования асимптотической устойчивости предложен алгоритм численной итерационной процедуры построения локализирующих множеств для инвариантных компактов, содержащихся в заданном начальном множестве. Критерий асимптотической устойчивости применяется на основании результатов данной процедуры. Автор статьи выполняет проверку условий соответствующей теоремы и проводит обоснование применения данного критерия.

Принцип работы итерационной процедуры продемонстрирован на примерах двумерной и трёхмерной системах дифференциальных уравнений. В статье также приведён пример системы с предельным циклом и показано, что разработанный численный алгоритм и функциональный метод локализации инвариантных компактов можно применять для анализа устойчивости предельных циклов.

Благодаря описанному в настоящей статье методу при анализе асимптотической устойчивости положений равновесия можно обойтись без поиска функции Ляпунова и вычисления собственных чисел матрицы линейного приближения. Таким образом, удаётся избежать трудоёмкой работы со сложными аналитическими структурами.

Численная итерационная процедура применима к системам разных размерностей и делает изложенный алгоритм анализа асимптотической устойчивости универсальным.

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

64-76 222
Аннотация

В статье освещена актуальная задача нечеткого информационного поиска в локальных базах данных. На основе существующего анализа методов координатного индексирования для глобального поиска был выбран метод хеширования по сигнатуре. Он дает наименьшие временные характеристике при поиске. Анализ этого метода при применении локальных базах данных показал, что существует ряд недостатков, среди которых большой размер индекса сигнатуры, необоснованное распределение символов алфавита в группах, неравномерность количества термов, соответствующих одной сигнатуре. Часть недостатков устраняется при проведении исследования. Показано, что для устранения недостатка большого размера индекса сигнатуры возможно использование лингвистических и статистических методов обработки текста. Это позволяет сократить число термов, участвующих в анализе, уменьшить размер индекса и количество термов, соответствующих одной сигнатуре.

Задача нечеткого поиска заключается в осуществлении поиска при возможных ошибках в запросе. В статье особое внимание обращено на анализ возможных ситуаций при разнице в индексах запроса и образа терма в базе в одном бите. По результатам теоретического анализа сделан вывод, что часто при нечетком поиске возникает задача сравнения битовых последовательностей. Реализуемые на данный момент алгоритмы побитового сравнения индексов не рассматривают такой тип задач. В связи с этим, на основе метода ветвей и границ, разработана целевая функция для сравнения индексов. Отметим, что задача получения битовых последовательностей термов не рассматривалась. Теоретический анализ целевой функции показал, что оптимальные временные и вычислительные затраты достижимы на заданном множестве. Разработано ограничение (граница), которая позволяет сократить временные затраты и во многих случаях не сравнивать индексы запроса и образа термов полностью. Все шаги в исследование были направлено на сокращение временных и вычислительных затрат, что в условиях локального поиска актуально.

В заключении отмечено, что разработанная целевая функция по методу ветвей и границ может быть дальше исследована на применение ограничений. Также, в качестве направления для изучения, выбран возможный вероятностный анализ распределения термов в группах для метода хеширования по сигнатуре.

КРИПТОГРАФИЯ И КРИПТОАНАЛИЗ

77-90 226
Аннотация

Ранее автором в целом ряде работ были предложены методы построения симметричных криптографических алгоритмов, основанных на обобщенных клеточных автоматах. Дабы такие автоматы обладали хорошими криптографическими свойствами, их графы должны удовлетворять ряду условий. Производить построение таких графов возможно как детерминированными, так и рандомизированными методами. Рандомизированному методу их построения посвящена настоящая работа.

В работе приведены краткие сведения об обобщенных клеточных автоматах и требования, предъявляемые к графам таких автоматов, в том числе, следующие: граф должен иметь свойства, близкие к свойствам случайно выбранного графа; диаметр графа должен быть как можно меньше;  граф должен быть регулярным; граф не должен быть двудольным; граф должен иметь как можно меньшее число петель и кратных ребер; граф должен иметь как можно меньшую степень (чтобы снизить коммуникационную сложность клеточного автомата); степень графа должна быть не меньше четырех; в семействе графов должно существовать достаточно большое количество графов с количеством вершин от нескольких десятков до нескольких тысяч.

Этим требованиям удовлетворяют расширяющие графы, в особенности, так называемые графы Рамануджана. Известно два способа построения небольших графов Рамануджана: построение случайного регулярного графа с последующей проверкой спектральных характеристик и построение графа при помощи некоторого известного детерминированного алгоритма. В данной работе рассмотрен первый способ. Приведен алгоритм генерации таких графов.

Для практических целей важно знать какие характеристики имеют случайные регулярные графы. С целью установления этого был проведен вычислительный эксперимент. Для каждого N из множества {256,512,1024,2048,4096} и каждого d из множества {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} было сгенерировано большое число случайных d-регулярных графов на N вершинах. Всего было сгенерировано 448 тыс. графов. Приведены графики плотностей распределения параметров λ и диаметров этих графов. Из графиков видно, что среди случайно сгенерированных регулярных графов, графы Рамануджана появляются с большой вероятностью, а диаметр полученных графов весьма мал. В целом, такие графы хорошо подходят для рассматриваемых целей.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №16-07-00542 а.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

91-104 155
Аннотация

Объект исследования работы – модель пороговой авторегрессии первого порядка с одним порогом, расположенным в нуле. Эта модель описывает стохастический временной ряд с дискретным временем посредством кусочно-линейного уравнения, состоящего из двух линейных классических авторегрессионных уравнений первого порядка. Текущее значение временного ряда вычисляется при помощи одного из этих уравнений. Управляющей переменной, которая определяет выбор между этими двумя уравнениями, является знак предыдущего значения этого же ряда.

Пороговая авторегрессионная модель первого порядка с одним порогом зависит от двух вещественных параметров, которые совпадают с коэффициентами кусочно-линейного порогового уравнения. Эти параметры предполагаются неизвестными. В работе изучаются оценка наименьших квадратов, оценка наименьших модулей и М-оценки указанных параметров. Целью работы является сравнительное исследование точности указанных оценок для основных вероятностных распределений обновляющего процесса порогового авторегрессионного уравнения. Этими распределениями вероятности были нормальное, загрязненное нормальное, логистическое, двойное-экспоненциальное распределения, распределение Стьюдента с различным числом степеней свободы и распределение Коши.

В качестве меры точности каждой оценки была выбрана ее дисперсия, измеряющая величину рассеяния оценки вокруг оцениваемого параметра.  Из двух оценок лучшей считалась оценка с меньшей дисперсией. Дисперсия оценивалась методом компьютерного моделирования. Оценка наименьших модулей определялась при помощи итерационного взвешенного метода наименьших квадратов, М-оценки  находились  методом деформируемого многогранника (метода Нелдера – Мида). Для вычисления оценки наименьших квадратов использовалось явное аналитическое выражение.

Оказалось, что оценка наименьших квадратов является лучшей только при нормальном распределении обновляющего процесса. Для логистического распределения и распределения Стьюдента с большим числом степеней свободы М-оценка с ро-функцией Хьюбера превосходит оценку наименьших квадратов в случае обоих распределений.

Для распределения Лапласа оценка наименьших квадратов является наихудшей, а оценка наименьших модулей наилучшей среди всех оценок.

Для распределения Коши оценка наименьших квадратов имеет несравнимо низкую эффективность по отношению к остальным оценкам.

С уменьшением числа степеней свободы у распределения Стьюдента оценка наименьших квадратов сначала проигрывает только М-оценке с ро-функцией Хьюбера, потом обеим М-оценкам, а затем и оценке наименьших модулей.

Если обновляющий процесс имеет загрязненное нормальное распределение, то М-оценка уступает, причем не намного, оценке наименьших квадратов только при практически полном отсутствии загрязнений.

С ростом доли и уровня загрязнения относительная эффективность М-оценки по отношению к оценке наименьших квадратов  увеличивается, становясь больше единицы для типичного на практике загрязнения.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)