Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 2 (2017)

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

1-24 167
Аннотация

В произвольной области многомерного пространства рассматривается произвольный периодический оператор с конечным числом разбегающихся возмущений. Возмущениями являются произвольные локализованные операторы. Разбегающиеся возмущения вводятся с помощью операторов сдвига, возмущающих операторов и некоторых весовых функций, удовлетворяющих некоторому набору условий.

Целью работы является изучение спектра возмущённого оператора при стремлении к бесконечности расстояний между областями, в которых расположены возмущений.

Подобная постановка задачи является достаточно общей и ранее не исследованной. Во всех предыдущих работах рассматривались лишь спектральные свойства дифференциальных операторов с разбегающимися возмущениями.

К основным результатам работы относят следующие:

  • инвариантность существенного спектра возмущённого оператора относительно возмущений.
  • существование простого и изолированного собственного значения возмущённого оператора, сходящегося к простому и изолированному собственному значению предельного оператора.
  • полные асимптотические ряды для возмущённого собственного значения и возмущённой собственной функции.
  • доказательство равномерной сходимости данных рядов и вывод явных формул для их коэффициентов.

Методика, с помощью которой были получены результаты работы, заключается в сведении уравнения на собственные значения к регулярно возмущённому операторному уравнению в специальном гильбертовом пространстве. Малость возмущения удалось описать двумя характерными малыми параметрами. Применение затем адаптированной версии метода Бирмана-Швингера, позволяет свести задачу к анализу некоторого операторного уравнения и поиску нулей некоторой голоморфной функции.

25-38 215
Аннотация

Лапласиан Леви и связанные с ними конструкции наиболее изучены в стохастическом исчислении Хиды (белошумном анализе). Это обусловлено тем, что естественная область определения (классического) лапласиана Леви в стохастическом анализе над мерой Винера является подпространством пространства белошумных обобщенных функционалов. Интерес же к детерминистскому лапласиану Леви обусловлен его связью с калибровочными полями. А именно, уравнения Янга-Миллса для связности эквивалентны уравнению Лапласа-Леви для параллельного переноса (см. работу Л. Аккарди, П. Джибилиско и И. В. Воловича [10], а также работы [11,18]). В статье [19] автора был введен лапласиан Леви, определенный на Соболевском классе над мерой Винера, и рассмотрена его связь со стохастическим параллельным переносом и уравнениями Максвелла, которые являются линейным случаем уравнений Янга-Миллса. В настоящей работе строится специальное пространство Хиды-Кубо-Такенаки и семейство неклассических лапласианов Леви, действующих на обобщенных белошумных функционалах. Это семейство включает в себя семейство экзотических лапласианов Леви, которое, в свою очередь, включает в себя классический лапласиан Леви. В работе показано, что один из неклассических лапласианов Леви, не являющийся при этом экзотическим, с точностью до естественного изоморфизма совпадает с лапласианом Леви, введенным в статье [19]. Кроме того, в настоящей работе доказывается формула, связывающая различные элементы семейства неклассических лапласианов Леви с помощью оператора вторичного квантования. При этом используется идея из работ [6,7]. Можно ожидать, что результаты настоящей работы можно обобщить на некоммутативный случай полей Янга-Миллса. Также можно ожидать, что результаты останутся верны для пространств Хиды-Кубо-Такенаки общего вида.

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

39-51 116
Аннотация

При исследовании поведения динамических систем следует учитывать внешние возмущения, действующие на систему. В качестве одного из способов описания меры воздействия внешних возмущений на систему в данной статье вводится понятие анизотропийной нормы системы. В состав определения анизотропийной нормы входят некоторые понятия из теории информации, такие как относительная энтропия и анизотропия. Эти определения описаны в теоретических выкладках в начале статьи. Рассматриваемую норму системы можно вычислить несколькими способами. В данной статье рассмотрены два метода – в частотной области и в пространстве состояний. Для нахождения нормы в пространстве состояний необходимо найти решение уравнения Риккати. Эта задача является довольно трудоемкой, посему при вычислении искомой нормы используются алгоритмы, в которых уравнение Риккати заменяется системой линейных матричных неравенств, решение которых легче с точки зрения численных методов. Программная реализация методов вычисления рассматриваемой нормы разработана с использованием среды MATLAB. С помощью этой программы получены результаты вычислений анизотропийной нормы для заданной линейной дискретной системы. Эти результаты представлены в статье в виде графиков.

Статья является составной частью квалификационной работы магистра “Основные критерии качества в теории линейных систем”. В данной работе рассматриваются различные критерии качества, решение задачи оптимального управления для каждого из них и сравнение полученных результатов для разных критериев. Анизотропийная норма, рассмотренная в данной статье, является одним из рассматриваемых критериев качества.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)