Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 1 (2017)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-10 320
Аннотация

В статье рассмотрена смешанная начально- краевая задача для уравнения параболического типа с неоднородными граничными  условиями.  Классические методы поиска аналитического решения таких задач на первом этапе предусматривают замену переменной, приводящую к задаче с однородными краевыми условиями. В справочной литературе ([1]) приведены, как правило, простейшие виды замены переменной, при которых новая и старая неизвестные функции различаются на линейное по пространственной переменной слагаемое.  Вид этого добавочного слагаемого  зависит от типа краевых условий, но никак не связан с рассматриваемым уравнением. Причем в случае второй краевой задачи приходится использовать квадратичный добавок, поскольку линейная замена  для этого типа условий может не существовать. В учебной литературе ([2]- [4]) обычно ограничиваются рассмотрением только первой краевой задачи в общей постановке.

В работе рассмотрена  замена переменной, принципиально учитывающая вид линейного дифференциального оператора.  Именно, в качестве добавочного слагаемого предложено использовать параметрически зависящее от времени решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, получаемого из исходного уравнения в частных производных методом разделения переменных Фурье.

Доказано существование предлагаемой замены для краевых условий любого типа на примере  нестационарного уравнения теплопроводности при наличии теплообмена с окружающей средой.  В этом случае добавочное слагаемое представляет собой линейную комбинацию гиперболических  функций. Показано, что кроме «нечувствительности» к типу краевых условий к преимуществам новой замены в сравнении с традиционной линейной (или квадратичной) заменой следует отнести значительно более простую структуру получаемого решения. Именно, описанный подход  позволяет получить решение с четко выделенной стационарной компонентой в случае, если стационарность имеет место, при значениях временной переменной, превышающей время релаксации.

Этот эффект распространяется не только на уравнения параболического типа , но также наблюдается и  в уравнениях, описывающих колебательные процессы при наличии затухания. Также показано, что в простейшем частном случае уравнения с постоянными коэффициентами  при  отсутствии теплообмена с окружающей средой предлагаемая  замена становится необходимо линейной и совпадает с классической.

Использование предложенного подхода позволит расширить спектр учебных и учебно- исследовательских задач в процессе изучения курса «Уравнения математической физики» и руководстве курсовой работой студентов различных инженерных специальностей.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

11-24 200
Аннотация

Композиционные материалы получили широкое распространение в технике, особенно в конструкциях, работающих при одновременном интенсивном воздействии механических и тепловых нагрузок. Одними из основных требований, предъявляемых к материалам в той или иной отрасли, являются ограничения на упругие характеристики, например, объемный модуль упругости и модуль сдвига.

Композиционные материалы состоят из основного материала, так называемого связующего (матрицы), и армирующих включений. Матрица композита определяет способ изготовления композита и должна удовлетворять набору эксплуатационных и технологических требований. Наиболее часто применяемыми в силу относительной простоты изготовления, хорошей смачиваемости и химической устойчивости являются металлическая и полимерная матрицы.

Армирующие включения могут иметь различную природу (борные, кристаллические и т.д.) и форму (шаровые, пластинчатые, волокно). В последнее время активно проводят исследования, направленные на использование в качестве наполнителя наноструктурных элементов (фуллерены, однослойные и многослойные углеродные нанотрубки (ОУНТ и МУНТ), пластинки, нанокластеры).

Существуют различные способы моделирования упругих свойств композитов. Наиболее распространенными являются численные методы с использованием метода конечных элементов и аналитические.

Для моделирования характеристик композита важную роль, помимо свойств его составляющих, имеет структура армирования.

В данной работе рассмотрен композит с изотропной металлической матрицей, упрочненный шаровыми нанокластерами из хаотично ориентированных ОУНТ, со схемой армирования, аналогичной кубической кристаллической решетке. В качестве способов моделирования рассмотрены и численный, и аналитические методы.

Для численного решения рассмотрено два типа периодической структуры такого материала: куб с восьмыми частями шара в углах и куб с шаром в центре. Для каждой из периодических ячеек выбран представительный объем, на котором с помощью кинематических и силовых граничных условий (ГУ) были реализованы два типа напряженно-деформированного состояния: растяжение вдоль одной оси и сдвиг. Численная реализация была проведена с помощью программного комплекса ANSYS совместно со специально разработанным программным модулем, позволяющем формировать тензоры коэффициентов упругости и податливости композита, а также осреднять его упругие характеристики для получения значений объемного модуля упругости и модуля сдвига материала. 

Проведено сравнение результатов численного моделирования с аналитическими оценками, полученными методом самосогласования и с помощью двойственной формулировки задачи упругости в неоднородном твердом теле. Установлено, что при численной реализации на значения модуля сдвига, в отличие от объемного модуля упругости, значительно влияет выбор периодической ячейки композита. Также показано, что результаты численного моделирования лежат между оценками, полученными с помощью аналитических моделей. Приведенные результаты позволят прогнозировать упругие характеристики композитов, армированных шаровыми включениями, в том числе перспективных материалов – нанокомпозитов, упрочненных шаровыми нанокластерами из хаотично ориентированных ОУНТ.

Работа выполнена в рамках реализации базовой части государственного задания Минобрнауки РФ (проект 9.7784.2017/БЧ).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

25-33 150
Аннотация

При изучении арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций по ходу рассуждения всегда возникает необходимость оценить снизу модуль отличного от нуля целого алгебраического числа. Такая оценка удовлетворяет всем требованиям лишь в случае, когда упомянутое алгебраическое число является рациональным или лежит в некотором мнимом квадратичном поле. Трудности, связанные с тем, что ненулевое целое число из произвольного алгебраического поля может быть сколь угодно малым по абсолютной величине, удается преодолеть далеко не всегда.

Дополнительные проблемы создает также и то, что общий наименьший знаменатель первых  коэффициентов гипергеометрического ряда с иррациональными параметрами слишком быстро растет при , стремящемся к бесконечности. Последнее обстоятельство не позволяет применить принцип Дирихле для построения начальной функциональной приближающей формы, а построение такой формы обычно является первым шагом на пути к получению соответствующего арифметического результата.

Две указанные трудности приводят к тому, что многочисленные общие теоремы об арифметических свойствах сумм обобщенных гипергеометрических рядов с рациональными параметрами не удается распространить на случай, когда параметры берутся из произвольного поля алгебраических чисел.

В работе рассматривается гипергеометрическая функция частного вида, единственный параметр которой является квадратичной иррациональностью. Указанные выше трудности преодолеваются с помощью нескольких различных приемов. Линейная приближающая форма, с которой начинается рассуждение, строится с помощью метода, в котором одновременно используются элементы двух различных подходов к такому построению: применение принципа Дирихле сочетается с эффективным методом. Этот этап не присутствует в работе явно, поскольку осуществляется ссылка на уже известные теоремы. Проблема, связанная с тем, что целое число из вещественного квадратичного поля может быть сколь угодно малым по абсолютной величине, решается с помощью известного тождества из теории специальных функций. Кроме того, используются особые приемы технического характера, которые позволяют уточнить полученные ранее количественные результаты.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)