Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 6 (2016)

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

1-14 204
Аннотация

Известно, что уравнения Янга-Миллса для связности эквивалентны уравнению Лапласа-Леви для параллельного переноса, соответствующего этой связности (см. работу Л. Аккарди, П. Джибилиско и И. В. Воловича [4]). Уравнение Лапласа-Леви – это уравнение Лапласа для Лапласиана Леви, который можно определить как среднее Чезаро вторых производных вдоль векторов из ортонормированного базиса некоторого гильбертова пространства. В работе автора [11] для случая четырехмерного евклидова пространства было доказано, что при определенном выборе ортонормированного базиса, уравнение Лапласа-Леви для параллельного переноса становится эквивалентным уравнениям автодуальности для связности. Связность, являющаяся решением уравнений автодуальности, называется инстантоном и является решением уравнений Янга-Миллса. В настоящей работе мы определяем лапласиан Леви для случая четырехмерного риманова многообразия. Такой оператор является обобщением, как и лапласиана Леви, введенного автором в [11], так и лапласиана Леви, введенного Л. Аккарди и О. Г. Смоляновым в [3] для риманова многообразия. В настоящей работе рассматривается случай линейного расслоения над четырехмерным римановым многообразием и уравнений Максвелла (коммутативного случая уравнений Янга-Миллса). Мы находим условия, при которых из того, что параллельный перенос гармонический функционал для введенного лапласиана Леви, следует, что соответствующая связность является решением уравнений автодуальности. Кроме того, в работе рассматривается связь введенного лапласиана Леви и оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии. Можно ожидать, что результаты работы можно обобщить на некоммутативный случай полей Янга-Миллса.

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

15-29 136
Аннотация

Пусть R – ассоциативное коммутативное кольцо с единицей; пусть A – ассоциативная R-алгебра с единицей. Для произвольных элементов di(i = 1, … , n) алгебры  A определим левонормированный коммутатор [d1, d2, … , dn] рекурсивно, полагая [d1, d2] = d1 d2d2 d1, [d1, … , d(n-1), dn] = [[d1, … , d(n-1)], dn] (n > 2). Для любого n > 1 обозначим через T(n) (A) двусторонний идеал в A, порожденный всеми коммутаторами [d1, d2, … , dn] для всевозможных di из A. Напомним, что алгебра A называется  лиевски нильпотентной класса не выше (n-1), если T(n) (A) = 0.

Пусть теперь A = R < X > - свободная ассоциативная R-алгебра с единицей с непустым множеством X свободных порождающих. Пусть T(n) = T(n) (A). Факторалгебра A / T(n) является универсальной (или, в другой терминологии, относительно свободной) лиевски нильпотентной класса (n-1) ассоциативной R-алгеброй с единицей, порожденной множеством X. Такие универсальные алгебры и алгебры, близкие к ним, активно изучаются последние 10 лет. Для их исследования важное значение имеет информация о соотношениях между порождающими этих универсальных алгебр.

Пусть Z – кольцо целых чисел. Периодическая часть аддитивной группы Z< X > / T(4) была явно описана в [4]. Это описание опирается на следующий результат:

Пусть R – произвольное ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей. Тогда T(4) порождается, как двусторонний идеал в A, многочленами

(1)                                [Y1, Y2, Y3, Y4] ,

(2)                                [Y1, Y2, Y3] [Y4, Y5, Y6] ,

(3)                     [Y1, Y2] [Y3, Y4, Y5] + [Y1, Y5] [Y3, Y4, Y2] ,    

(4)                     [Y1, Y2] [Y3, Y4, Y5] + [Y1, Y4] [Y3, Y2, Y5] ,  

(5)                     ([Y1, Y2] [Y3, Y4] + [Y1, Y3] [Y2, Y4]) [Y5, Y6] ,

где для всех i элементы Yi лежат в X.

Пусть I – двусторонний идеал в A, порожденный всеми многочленами (1) – (5). В [4] было доказано, что I = T(4), то есть

i)                     I содержится в T(4);

ii)                  T(4) содержится в I.

Доказательство пункта ii) в [4] проводится довольно сложной совместной индукцией по степени некоммутативных многочленов из пяти определенных семейств. Цель данной статьи – дать новое доказательство пункта ii), более простое, чем в [4]. Наше доказательство проводится путем непосредственных вычислений с использованием ряда упрощений и не требует индукции. Более точно, доказано, что идеал T(4) порождается (как двусторонний идеал в A) коммутаторами вида [a, Y1, b, Y2], где Y1, Y2  - элементы из X и a, b – произведения элементов из X. После этого проверяется, что коммутаторы такого вида лежат в I, а потому T(4) содержится в I.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

30-44 186
Аннотация

В технике находят применение конструкционные и теплозащитные материалы, которые в условиях радиационного воздействия поглощают излучение как на поверхности, так и в объеме. Процессы поглощения проникающего излучения материалами и элементами конструкций характерны для ряда технологических операций и эксплуатационных режимов для различных технических устройств. Поглощение проникающего в объем материала излучения может существенно повлиять на температурное состояние и работоспособность конструкции, выполненной из такого материала.

Процесс поглощения материалом проникающего излучения связан с переходом энергии электромагнитной волны в энергию возбуждения микрочастиц этого материала, что в конечном итоге приводит к повышению внутренней энергии и росту температуры. При прохождении излучения через слой материала плотность его потока, а значит и энергия проникающего излучения уменьшаются по экспоненциальному закону с увеличением расстояния от облучаемой поверхности слоя, экспериментально установленному французским физиком П.Бугером и носящему его имя. В общем случае некоторая доля этой энергии излучается и рассеивается в объеме материала, а остальная часть поглощается. Основой математической модели, описывающей эти процессы, является уравнение переноса энергии излучения.

При математическом моделировании термомеханических процессов возникает необходимость учитывать влияние проникающего излучения на температурное состояние материалов и элементов конструкций. При этом закон Бугера применяют и тогда, когда допустимо пренебречь объемным излучением и рассеянием проникающего излучения в материале, но необходимо учитывать его поглощение. В таком случае отрицательный показатель экспоненциальной функции представляют произведением расстояния от облучаемой поверхности и интегрального или некоторого усредненного коэффициента поглощения, постоянного для данного материала и спектрального состава проникающего излучения. Однако с увеличением мощности проходящего через слой материала излучения возникает зависимость коэффициента поглощения от локальной интенсивности этого излучения. Кроме того,может быть существенной зависимость этого коэффициента от локального значения температуры материала, отражающая упомянутую выше связь поглощения энергии электромагнитной волны с возбуждением микрочастиц материала. Этот процесс можно описать при помощи функции распределения Больцмана, содержащей энергию активации микрочастиц и локальное значение температуры.

В данной работе представлена вариационная формулировка нелинейной задачи стационарной теплопроводности в пластине для случая, когда коэффициент поглощения проникающего излучения в соотношении для закона Бугера зависит от локального значения температуры. Эта формулировка включает функционал, который может иметь несколько стационарных точек, соответствующих различным установившимся температурным состояниям пластины. Анализ свойств этого функционала позволил выделить стационарные точки, соответствующие реализуемым распределениям температуры в пластине.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)