Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 3 (2016)

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

1-9 185
Аннотация

Статья посвящена спинорному представлению бессиловой электродинамики. Уравнения бессилового электромагнитного поля описывают физику пульсаров и черных дыр, магнитосфера которых заполнена замагниченной релятивистской плазмой. Данная работа представляет собой краткое учебное введение в математические основы бессиловой электродинамики, основанное на 2-спинорном исчислении. Целью статьи является представление нелинейной теории бессиловых полей в компактной форме, которую обеспечивает спинорный формализм. В начале изложена алгебраическая классификация тензора Максвелла. Затем получена упрощенная система дифференциальных уравнений для двух типов электромагнитного поля, и описаны основные свойства решений. Изотропное бессиловое поле связано с бессдвиговой геодезической изотропной конгруэнцией в пространстве-времени и может быть получено из одного линейного уравнения для комплексной функции. Магнитное бессиловое поле ассоциировано с времениподобной поверхностью, представляющей собой мировой лист магнитной силовой линии. Упрощенная система содержит 4 линейных уравнения для действительной функции. Статья носит образовательный характер и не содержит новых решений уравнений.

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

10-17 179
Аннотация

Статья посвящена исследованию свободных алгебр многообразий ассоциативных алгебр, удовлетворяющих тождествам квантовой лиевской нильпотентности ступеней 1 и 2. Пусть q – обратимый элемент основного поля K (или его расширения). Квантовым коммутатором называется элемент

[x,y]q = xy-qyx

свободной ассоциативной алгебры. Рассмотрены алгебры, удовлетворяющие тождествам

                                                                       [x,y]q = 0                                                               (1)

и

                                                                     [[x,y]q ,z]q = 0                                                          (2)

Указанные алгебры естественно считать квантовыми аналогами коммутативных алгебр и алгебр лиевской нильпотентности ступени 2. Свободные алгебры многообразий ассоциативных алгебр, задаваемые тождеством лиевской нильпотентности ступени 2, то есть тождеством

[[x,y] ,z] =0,

где [x,y]=xy-yx  - лиевский коммутатор, представляют большой интерес в теории алгебр с тождествами, поскольку, как было доказано А.В.Гришиным для алгебр над полями характеристики 2, и В.В.Щиголевым для алгебр над полями характеристики p>2, данные алгебры содержат неконечнопорождённые Т-пространства.

В статье доказано, что алгебры с тождествами (1) и (2) являются нильпотентными в обычном смысле при любом отличном от 1 значении квантового параметра. В работе точно вычисляются ступени нильпотентности для таких алгебр. А именно, доказано, что свободная алгебра многообразия ассоциативных алгебр, задаваемого тождеством (1), является нильпотентной ступени 2, если q ± 1, и нильпотентной ступени 3, если q = - 1 и характеристика K не равна 2. Также доказано, что свободная алгебра многообразия ассоциативных алгебр, задаваемого тождеством (2), является нильпотентной ступени 3, если q3 ≠ 1, q ± 1, нильпотентной ступени 4, если q3 = 1, q ≠ 1, и нильпотентной ступени 5, если q = - 1 и характеристика K не равна 2. Следствием последнего из утверждений является тот факт, что данная алгебра не содержит неконечнопорождённых Т-пространств.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

18-28 220
Аннотация

Температурное состояние твердого тела помимо условий его теплообмена с окружающей средой может существенно зависеть от процессов тепловыделения (или теплопоглощения) в объеме тела. Среди возможных причин возникновения таких процессов следует отметить выделение энергии в тепловыделяющих элементах ядерных реакторов,       протекание в материале твердого тела экзотермических или эндотермических химических реакций, сопровождаемых соответственно выделением или поглощением теплоты, переход в теплоту части электрической энергии при прохождении электрического тока через проводники (так называемая джоулева теплота) или энергии излучения, проникающего в тело из полупрозрачного материала, и т.п. Интенсивность этих процессов характеризуют объемной мощностью энерговыделенияю.

В обширной литературе по теории теплопроводности твердых тел приведены решения задач по определению стационарного (установившегося во времени) и нестационарного температурного состояния твердых тел (как правило, канонической формы), в которых действуют источники объемного энерговыделения. При этом в общем случае учитывается возможность изменения энерговыделения по объему тела, а при решении нестационарных задач и возможная зависимость этой величины от времени.

Однако в реальных условиях объемная мощность энерговыделения часто зависит и от локального значения температуры, причем такая зависимость может быть нелинейной. Например, интенсивность выделения или поглощения теплоты при химических реакциях пропорционально скорости их протекания, которая, в свою очередь, чувствительна к значению температуры, причем зависимость от температуры имеет экспоненциальный характер. Дополнительным фактором, усложняющим в таких случаях анализ температурного состояния твердого тела, является  зависимость от температуры и коэффициента теплопроводности материала этого тела, особенно в случае существенной неоднородности распределения в нем температуры. Учет влияния перечисленных факторов приводит к необходимости использовать методы математического моделирования,  позволяющие построить адекватную нелинейную математическую модель процесса теплопроводности в теле с объемным энерговыделением. Количественный анализ таких моделей требует, как правило, применения численных методов.

Вместе с тем для такой простой формы тела, какой является неограниченная пластина постоянной толщины, возможно при определенных допущениях получить в аналитическом виде решение нелинейной задачи теплопроводности, учитывающее зависимости от температуры коэффициента теплопроводности материала пластины и интенсивности энерговыделения. Такое решение позволяет выявить ряд существенных эффектов, влияющих на температурное состояние пластины, в том числе связанных с условиями существования установившегося распределения температуры, и может быть использовано для тестирования результатов, получаемых при помощи численных методов.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)