Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
№ 2 (2016)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-8 231
Аннотация

В статье решается краевая задача с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, которое является уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа. Уравнения смешанного типа применяются в трансзвуковой газодинамике. Ограниченное решение задачи ищется в полуплоскости, состоящей из верхней полуплоскости (в которой уравнение эллиптично) и примыкающей к ней полосы (в которой уравнение гиперболично). На границе области задается наклонная производная в направлении одной из характеристик. На границе верхней полуплоскости, которая является линией изменения типа уравнения, задаются условия сопряжения четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представляется по формуле Даламбера, а в верхней полуплоскости, где уравнение эллиптично, ограниченное решение представляется интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сводится к краевой задаче Римана для голоморфных функций. Решение этой задачи получено в явном виде. Таким образом, решение задачи с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе получено в явном виде для случая полуплоскости с точностью до постоянного слагаемого. В конце статьи приводится пример решения задачи, подтверждающий теоретические выкладки.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

9-21 286
Аннотация

В качестве модели для изучения взаимодействия плоских скачков уплотнения в пространстве используется угловое тело, представляющее из себя два пересекающихся клина.

При сверхзвуковом обтекании такого тела от каждого клина образуется скачок уплотнения, они пересекаются и взаимодействуют в пространстве. Возможны два типа взаимодействия скачков от клиньев: регулярное и более сложное – маховское.

Автором статьи были исследованы возможности возникновения того или иного типа взаимодействия скачков уплотнения в угловом теле.  Тип взаимодействия зависит не только от пересекающихся скачков, но и от положения  в пространстве линии их пересечения.

Методика основана на аналитических соотношениях для косого скачка уплотнения. Для расчета используется принцип разложения вектора набегающей скорости на две компоненты: одна направлена вдоль линии пересечения скачков уплотнения, другая лежит в плоскости нормальной линии пересечения. Исходная система координат поворачивается таким образом, что одна из осей направлена вдоль линии пересечения, а две другие  лежат в плоскости, перпендикулярной линии пересечения; эта плоскость называется расчетной. В расчетной плоскости лежит нормальная компонента скорости, которая используется как начальная. Структура течения в этой плоскости идентична двумерному взаимодействию скачков.

 Тип взаимодействия определяется по двумерному расчету. Решение сводится к нахождению параметров потока по обе стороны тангенциального разрыва. Решение  иллюстрируется  ударными полярами в координатах отношение давлений – отклонение потоков.

Приводится расчетная диаграмма, по которой можно определить тип взаимодействия скачков.

Приводятся результаты расчета вниз по течению: взаимодействие отраженного скачка уплотнения с поверхностью клина и с другими поверхностями.

Определение типа взаимодействия скачков необходимо при расчете таких течений численными методами, так как это позволяет правильно задавать геометрию расчетной области. Кроме того, в случае регулярного взаимодействия параметры за отраженными скачками можно определить по аналитическим формулам, что сократит время численных расчетов и повысит точность. Разработанный алгоритм может использоваться при проектировании пространственного входного устройства для летательных аппаратов больших сверхзвуковых скоростей.

22-33 225
Аннотация

Эффективная защита конструкций от локализованного интенсивного теплового воздействия возможна путем применения теплозащитного покрытия. При нанесении слоя покрытия на поверхность конструкции тепловой контакт на этой поверхности в общем случае отличается от идеального и соответствует некоторому значению коэффициента контактного теплообмена. В случае высокого уровня плотности локализованного теплового потока температура в наиболее нагретой точке наружной поверхности покрытия может существенно превосходить температуру защищаемой конструкции, что приводит к необходимости учитывать зависимость коэффициента теплопроводности материала покрытия от температуры.

 Для количественного анализа влияния перечисленных особенностей теплового взаимодействия покрытия с защищаемой конструкцией целесообразно использовать методы математического моделирования, позволяющие построить адекватную математическую модель процесса теплопроводности в слое теплозащитного покрытия. Такая модель должна дать возможность определить при заданной толщине покрытия его температурное состояние, но и найти оптимальное соотношение определяющих параметров, обеспечивающих наименьшую возможную температуру в наиболее нагретой точке наружной поверхности покрытия. Одним из этих параметров может быть толщина слоя покрытия, которую следует считать оптимальной.

 В работе построена математическая модель, описывающая процесс стационарной теплопроводности при локальном нагреве наружной поверхности теплозащитного покрытия на охлаждаемой плоской стенке. Коэффициент теплопроводности материала покрытия зависит от температуры, а тепловой контакт между покрытием и стенкой принят неидеальным. Количественный анализ математической модели сведен к решению краевой задачи для уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат. Полученное в аналитической форме решение задачи позволило установить область определяющих параметров, в которой путем изменения толщины покрытия с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности можно обеспечить минимально возможное значение температуры в наиболее нагретой точке этой поверхности. Установлено, что в случае идеального теплового контакта между покрытием и защищаемой конструкцией температура наиболее нагретой точки наружной поверхности покрытия монотонно возрастает с увеличением его толщины, т.е. отсутствует возможность подбора оптимальной толщины локально нагреваемого теплозащитного покрытия.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)