В статье решается краевая задача с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, которое является уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа. Уравнения смешанного типа применяются в трансзвуковой газодинамике. Ограниченное решение задачи ищется в полуплоскости, состоящей из верхней полуплоскости (в которой уравнение эллиптично) и примыкающей к ней полосы (в которой уравнение гиперболично). На границе области задается наклонная производная в направлении одной из характеристик. На границе верхней полуплоскости, которая является линией изменения типа уравнения, задаются условия сопряжения четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представляется по формуле Даламбера, а в верхней полуплоскости, где уравнение эллиптично, ограниченное решение представляется интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сводится к краевой задаче Римана для голоморфных функций. Решение этой задачи получено в явном виде. Таким образом, решение задачи с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе получено в явном виде для случая полуплоскости с точностью до постоянного слагаемого. В конце статьи приводится пример решения задачи, подтверждающий теоретические выкладки.

В качестве модели для изучения взаимодействия плоских скачков уплотнения в пространстве используется угловое тело, представляющее из себя два пересекающихся клина.

При сверхзвуковом обтекании такого тела от каждого клина образуется скачок уплотнения, они пересекаются и взаимодействуют в пространстве. Возможны два типа взаимодействия скачков от клиньев: регулярное и более сложное – маховское.

Автором статьи были исследованы возможности возникновения того или иного типа взаимодействия скачков уплотнения в угловом теле.  Тип взаимодействия зависит не только от пересекающихся скачков, но и от положения  в пространстве линии их пересечения.

Методика основана на аналитических соотношениях для косого скачка уплотнения. Для расчета используется принцип разложения вектора набегающей скорости на две компоненты: одна направлена вдоль линии пересечения скачков уплотнения, другая лежит в плоскости нормальной линии пересечения. Исходная система координат поворачивается таким образом, что одна из осей направлена вдоль линии пересечения, а две другие  лежат в плоскости, перпендикулярной линии пересечения; эта плоскость называется расчетной. В расчетной плоскости лежит нормальная компонента скорости, которая используется как начальная. Структура течения в этой плоскости идентична двумерному взаимодействию скачков.

 Тип взаимодействия определяется по двумерному расчету. Решение сводится к нахождению параметров потока по обе стороны тангенциального разрыва. Решение  иллюстрируется  ударными полярами в координатах отношение давлений – отклонение потоков.

Приводится расчетная диаграмма, по которой можно определить тип взаимодействия скачков.

Приводятся результаты расчета вниз по течению: взаимодействие отраженного скачка уплотнения с поверхностью клина и с другими поверхностями.

Определение типа взаимодействия скачков необходимо при расчете таких течений численными методами, так как это позволяет правильно задавать геометрию расчетной области. Кроме того, в случае регулярного взаимодействия параметры за отраженными скачками можно определить по аналитическим формулам, что сократит время численных расчетов и повысит точность. Разработанный алгоритм может использоваться при проектировании пространственного входного устройства для летательных аппаратов больших сверхзвуковых скоростей.

Эффективная защита конструкций от локализованного интенсивного теплового воздействия возможна путем применения теплозащитного покрытия. При нанесении слоя покрытия на поверхность конструкции тепловой контакт на этой поверхности в общем случае отличается от идеального и соответствует некоторому значению коэффициента контактного теплообмена. В случае высокого уровня плотности локализованного теплового потока температура в наиболее нагретой точке наружной поверхности покрытия может существенно превосходить температуру защищаемой конструкции, что приводит к необходимости учитывать зависимость коэффициента теплопроводности материала покрытия от температуры.

 Для количественного анализа влияния перечисленных особенностей теплового взаимодействия покрытия с защищаемой конструкцией целесообразно использовать методы математического моделирования, позволяющие построить адекватную математическую модель процесса теплопроводности в слое теплозащитного покрытия. Такая модель должна дать возможность определить при заданной толщине покрытия его температурное состояние, но и найти оптимальное соотношение определяющих параметров, обеспечивающих наименьшую возможную температуру в наиболее нагретой точке наружной поверхности покрытия. Одним из этих параметров может быть толщина слоя покрытия, которую следует считать оптимальной.

 В работе построена математическая модель, описывающая процесс стационарной теплопроводности при локальном нагреве наружной поверхности теплозащитного покрытия на охлаждаемой плоской стенке. Коэффициент теплопроводности материала покрытия зависит от температуры, а тепловой контакт между покрытием и стенкой принят неидеальным. Количественный анализ математической модели сведен к решению краевой задачи для уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат. Полученное в аналитической форме решение задачи позволило установить область определяющих параметров, в которой путем изменения толщины покрытия с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности можно обеспечить минимально возможное значение температуры в наиболее нагретой точке этой поверхности. Установлено, что в случае идеального теплового контакта между покрытием и защищаемой конструкцией температура наиболее нагретой точки наружной поверхности покрытия монотонно возрастает с увеличением его толщины, т.е. отсутствует возможность подбора оптимальной толщины локально нагреваемого теплозащитного покрытия.