Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск
Научно-практический рецензируемый журнал

Сетевое издание «Математика и математическое моделирование» — периодическое рецензируемое научное издание, которое отражает оригинальные научные результаты теоретических и прикладных исследований по широкому кругу проблем в области математики, а также в области системного анализа, управления и обработки информации, математического моделирования, численных методов и комплексов программ, проводимых в естественных науках, технике и технологиях.

 В журнале публикуются оригинальные работы по следующим научным направлениям:

– Математика

– Механика

– Физика

– Информатика, вычислительная техника и управление

Главный редактор журнала — чл.-корр РАН, д.ф.-м.н., профессор А.П. Крищенко.

В редакционную коллегию журнала входят ведущие российские и зарубежные ученые: три академика РАН, один член-корреспондент РАН, четырнадцать докторов технических наук, три доктора физико-математических наук, шестнадцать профессоров.

В редакционной коллегии журнала представлены следующие организации: МГТУ им. Н.Э. Баумана;  МГУ им. М.В. Ломоносова; Instituto Politecnico Nacional, CITEDI MEXICO;

ФИЦ «Информатика и управление» РАН; Новосибирский государственный технический университет; School of Engineering and Material science, Queen Mary Univercity of London.

Журнал принимает статьи на русском и английском языках. Русскоязычные статьи включают полный текст на русском языке и аннотированную часть (реферат и список литературы) на английском языке. Англоязычные статьи, наоборот, включают полный текст на английском языке и аннотированную часть на русском языке. Сайт журнала поддерживает русскоязычную и англоязычную версии.

Материалы для публикации (статья и сопровождающие ее документы) представляются в редакцию журнала через Интернет путем оформления заявки на публикацию на сайте журнала в личном кабинете автора.

Журнал имеет регистрацию средства массовой информации ЭЛ № ФС 77 - 71245. Публикациям присваивается международный индекс DOI. Журнал имеет международный стандартный сериальный номер периодических печатных изданий ISSN 2412-5911. В мае 2017 г. журнал был включен в перечень ВАК рецензируемых научных изданий, в которых публикуются основные научные результаты диссертаций.

 

 

Текущий выпуск

№ 6 (2018)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1-10 65
Аннотация

В работе решается краевая задача о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости. Уравнение Лаврентьева – Бицадзе является уравнением смешанного (эллиптико – гиперболического) типа. Уравнения смешанного типа возникают при решении многих задач прикладного характера (например, при моделировании околозвуковых течений сжимаемой среды).

В работе областью эллиптичности является полуплоскость, а областью гиперболичности – примыкающая к ней полоса. На одной из прямых, ограничивающих полосу, задана наклонная производная (в направлении, образующим острый угол с этой прямой), а на другой прямой – границе раздела полосы и полуплоскости – решения сопрягаются краевыми условиями четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представлено формулой Даламбера, а в полуплоскости, где уравнение является эллиптическим, ограниченное решение представлено интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для этой неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сведено к краевой задаче Римана со сдвигом для голоморфных функций. Решение задачи Римана сведено к решению двух функциональных уравнений. Решения этих функциональных уравнений и формулы Сохоцкого для интеграла типа Коши позволили найти неизвестную плотность интеграла Пуассона. А это позволило найти решение задачи о наклонной производной в виде суммы функционального ряда (с точностью до произвольного постоянного слагаемого).

11-21 27
Аннотация

Поиск решений нелинейных стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений бывает подчас весьма сложен. Далеко не всегда удаётся получить общее решение в аналитическом виде. В связи с этим получила развитие качественная теория нелинейных динамических систем, методы которой позволяют исследовать свойства решений без поиска общего решения. Широко применяются также численные методы исследования.

В случае, когда найти аналитически общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений не удаётся, иногда, тем не менее, возможно указать её первый интеграл. Известен ряд результатов, позволяющих получить первый интеграл для некоторых частных случаев.

Статья посвящена численному способу получения первых интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, основанному на факте интегрируемости инволютивного распределения.

Предлагаемый в настоящей статье способ позволяет в случае, когда известно векторное поле, порождающее вместе с векторным полем правой части заданной системы обыкновенных дифференциальных уравнений инволютивное распределение размерности 2 получить первый интеграл нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. При этом решение определённой последовательности задач Коши позволяет построить поверхность уровня функции первого интеграла, содержащую заданную точку пространства состояний системы. Используя метод наименьших квадратов, в ряде случаев можно также получить аналитическое выражение для первого интеграла.

В статье приведены примеры применения метода к двум системам.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

22-51 28
Аннотация

Рассматривается проблема повышения точности лагранжевых вихревых методов моделирования обтекания профилей плоскопараллельным потоком вязкой несжимаемой среды. Определяющим фактором является точность моделирования процесса генерации завихренности на границе профиля. В рассмотренной математической модели слой завихренности, генерируемой за шаг расчета по времени, представляется тонким вихревым слоем, расположенным на границе области течения – на поверхности обтекаемого профиля. Его интенсивность может быть найдена из граничного условия прилипания, выраженного в форме векторного граничного интегрального уравнения, при этом достаточно обеспечить его удовлетворение лишь для одной из компонент: нормальной либо касательной к границе профиля. Используемый математический аппарат основан на свойствах обобщенного разложения Гельмгольца для соленоидальных векторных полей. Получающиеся в результате скалярные интегральные уравнения имеют существенно различные свойства: в первом случае уравнение является сингулярным и интеграл в нем понимается в смысле главного значения по Коши, во втором – ядро уравнения ограничено для гладких участков границы. В работе рассмотрены оба подхода.

Для численного решения граничных интегральных уравнений в вихревых методах обычно используют так называемые панельные методы, в соответствии с которыми исходная кривая, задающая границу профиля, заменяется панелями, для которых записывают дискретный аналог исходного интегрального уравнения. В работе предложен подход к аппроксимации граничного интегрального уравнения, основанный на идеях разрывного метода Галеркина. При этом в качестве базисных и проекционных функций могут быть использованы дельта-функции Дирака, кусочно-константные и кусочно-линейные функции. Показано, что дискретизация профиля прямолинейными панелями может приводить к существенной погрешности приближенного решения, в особенности в случае существенно различных длин соседних панелей. Однако для такой дискретизации получены точные аналитические формулы для вычисления интегралов, выражающих коэффициенты системы линейных уравнений, аппроксимирующей интегральное уравнение в соответствии с подходом Галеркина.

Предложен подход, позволяющий явно учесть кривизну границы профиля. Для коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, представляющей дискретный аналог интегрального уравнения, получены приближенные аналитические выражения в виде степенных разложений до слагаемых, пропорциональных третьей степени малого параметра – длины панели. Рассмотрен пример численного моделирования обтекания эллиптического профиля при существенно неравномерной дискретизации границы профиля. Полученный алгоритм имеет приемлемую вычислительную сложность и при этом позволяет получать верное качественно и более точное количественно решение по сравнению с ранее известными подходами.

52-71 37
Аннотация

В настоящее время предложено большое количество моделей медико-биологических систем, однако их практическое применение в ряде случаев затруднено.

Это связано с тем, что не все переменные состояния в этих моделях доступны для измерений. Задача восстановления вектора состояния, состоящая в получении оценок для его неизмеряемых компонент, может быть решена методами теории управления, в которых она формулируется как задача построения наблюдателя состояния.

В статье рассмотрена проблема использования наблюдателей в биологических системах на основе российских и зарубежных публикаций и проведен анализ имеющихся работ по этому вопросу. В данной работе рассмотрен один из видов наблюдателей состояния ̶ наблюдатель, функционирующий в скользящем режиме. Порядок его построения для биологических систем мы рассмотрим на примере одной модели развития раковой опухоли, в которой лечение основано на блокировании процессов ангиогенеза.

Для нелинейной динамической системы, описывающей развитие раковой опухоли при антиангиогенной терапии, приведен вид ее нормальной формы и построен нелинейный наблюдатель состояния на скользящих режимах. В качестве выхода системы, доступного измерению, выбрана переменная, соответствующая объему раковой опухоли. Оценка полного вектора состояния системы, полученная наблюдателем, использована для построения обратной связи по состоянию, стабилизирующей программную траекторию. Теоретические положения подтверждены математическим моделированием, которые показывают, что в принципе наблюдатель на скользящих режимах может использоваться в задачах управления биологическими системами.

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

72-87 50
Аннотация

В статье излагается полученный автором ранее метод построения нелинейного управления в задаче слежения для выхода слабо нелинейной динамической системы на конечном интервале времени, а также приводятся результаты численных экспериментов применения этого метода к управлению выходом модели продольной динамикой самолета вертикального взлета и посадки. Целью статьи является демонстрация работоспособности метода для не слабо нелинейных систем, а также оценка эффективности полученного управления по сравнению с линейными аналогами.

Метод основывается на приближенном решении матричного дифференциального уравнения типа Риккати, коэффициенты которого зависят от состояния. В англоязычной литературе такой прием построения управления называется SDRE техникой. Последняя получила достаточно широкое распространение в практических приложениях благодаря относительной простоте реализации. Недостатком SDRE техники является необходимость численного решения матричного уравнения типа Риккати в процессе работы для каждого нового состояния системы, что может наталкиваться на ограниченность вычислительных ресурсов. Для преодоления данного недостатка был разработан ряд методов приближенного решения этого уравнения, в том числе и для задачи слежения на конечном интервале времени.

Особенностью исследуемого метода является способ приближенного решения уравнения, основанный на формальном асимптотическом разложении этого решения по малому параметру при нелинейности системы. Удалось получить численно-аналитическую процедуру построения управления. В отличие от известных результатов в данном подходе в процессе управления не выполняется ряд трудоемких вычислительных операций. Это делает данный метод потенциально применимым для задач с сильно ограниченными вычислительными ресурсами. Примерами таких задач могут являться управление автономными техническими средствами. 

В статье рассмотрен ряд сценариев, отличающихся начальными условиями модели динамики самолета. Демонстрируется, что в большинстве случаев полученные нелинейные управления превосходят линейные аналоги по рассмотренному квадратичному критерию качества.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

88-111 33
Аннотация

В данной статье решается следующая задача: построение схемы обмена секретными ключами по открытому каналу связи. Основная идея построения такой схемы общеизвестна. Она базируется на понятии односторонней функции. Это функции, значения которых вычисляются гораздо проще, чем значения обратных функций. При построении односторонних функций используется алгоритм распознавания равенства слов в группах с условиями малого сокращения С(3)-Т(6). При этом группа представляется множеством своих образующих и определяющих соотношений. Вся работа, связанная с построением алгоритмов и оценкой их сложности, проводится с групповыми диаграммами равенства. Существование таких диаграмм доказано в известной лемме Ван Кампена. Итогом работы является следующий результат. Предложенная в статье схема обмена секретными ключами обладает следующими свойствами. Прямые алгоритмы имеют линейную сложность, а обратные – экспоненциальную. Следует отметить, что сложность алгоритмов оценивалась площадями соответствующих  групповых диаграмм, которые определяются числом входящих в них областей. Построенный секретный ключ представляет собой некоторый элемент заранее выбранной группы с условиями С(3)-Т(6). Он может быть представлен бесконечным числом способов словами в алфавите из образующих группы. Таким образом, оставшимся препятствием к практическому применению построенной схемы обмена ключами является неоднозначность записи секретного ключа. Поиск общего представителя как лексикографически кратчайшего слова в классе равных слов оказывается слишком сложной задачей. Таким образом, этот вопрос остаётся открытым. Хотя сама задача обмена секретными ключами формально может считаться решённой.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.