Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

О приближении значений гипергеометрических функций специального вида

https://doi.org/10.24108/mathm.0617.0000091

Полный текст:

Аннотация

В исследованиях арифметических свойств значений гипергеометрических функций можно выделить два направления: метод Зигеля и методы, основанные на эффективном построении линейной приближающей формы. Известны также методы, сочетающие оба названных подхода. Методом Зигеля получены наиболее общие результаты, относящиеся к упомянутым задачам. Этим методом во многих случаях удалось установить алгебраическую независимость значений соответствующих функций. Хотя эффективные методы не позволяют получать столь общие утверждения, они все же обладают некоторыми достоинствами. Среди этих достоинств можно выделить по крайней мере два: большая точность получаемых количественных результатов и возможность рассмотрения гипергеометрических функций с иррациональными параметрами.

В настоящей работе эффективная конструкция применяется для получения оценки меры линейной независимости значений гипергеометрических функций над мнимым квадратичным полем. Сами функции выбираются специальным образом, чтобы можно было продемонстрировать новый подход к эффективному построению линейной приближающей формы. Этот подход позволяет также распространить известные способы эффективного построения линейных приближающих форм для полилогарифмов на функции более общего вида.

Для получения арифметического результата потребовалось также установить линейную независимость изучаемых функций над полем рациональных дробей. Непосредственно применить известные теоремы, дающие соответствующие достаточные (а в ряде случаев и необходимые) условия, по-видимому, нельзя. По этой причине был разработан специальный технический прием, позволивший решить эту задачу.

В работе получены арифметические результаты о значениях целых функций, но с соответствующими изменениями можно переформулировать доказанные теоремы и для случая гипергеометрических рядов с конечным радиусом сходимости. В перспективе можно будет рассмотреть и случай иррациональных параметров, но здесь предстоит еще преодолеть ряд трудностей, характерных для задач такого типа.

Об авторе

П. Л. Иванков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Иванков Павел Леонидович

ФН-12



Список литературы

1. Фельдман Н.И. Об одной линейной форме // Acta Arithmetica. 1972. Vol. 21. Pp. 347-355. DOI: 10.4064/aa-21-1-347-355

2. Галочкин А.И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8. № 1. С. 19-28.

3. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Математический сборник. 1991. Т. 182. № 2. С. 283-302.

4. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207-214. DOI: 10.1017/CBO9780511897184.013

5. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1. No. 2. Pp. 27-32.

6. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Основы алгебры: учебник. М.: Физматлит; Наука, 1994. 318 с.

7. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1978. № 6. С. 25-32.

8. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1979. № 1. С. 26-30.

9. Василенко О.Н. О приближении гипергеометрических функций и их значений // Диофантовы приближения. Ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 1985. С. 10-16.

10. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 1. С 191-206.

11. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций // Диофантовы приближения. Ч. 2. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 34-41.

12. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.

13. Василенко О.Н. О линейной независимости значений некоторых функций // Диофантовы приближения. Ч. 2. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 3-12.

14. Василенко О.Н. Арифметические свойства значений полилогарифмов // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1985. № 1. С. 42-45.

15. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений функции Куммера с иррациональным параметром // Математические заметки. 1991. Т. 49. № 2. С. 55-63.


Для цитирования:


Иванков П.Л. О приближении значений гипергеометрических функций специального вида. Математика и математическое моделирование. 2017;(6):83-94. https://doi.org/10.24108/mathm.0617.0000091

For citation:


Ivankov P.L. On Approximation of Hyper-geometric Function Values of a Special Class. Mathematics and Mathematical Modeling. 2017;(6):83-94. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0617.0000091

Просмотров: 147


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)