Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое

Аннотация

Хорошо известно, что задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре имеет единственное полиномиальное решение (гармонический полином) в случае, если заданным граничным значением является след произвольного полинома на сфере. С.М.Никольский обобщил этот результат на случай краевой задачи первого рода для линейного дифференциального самосопряженного оператора порядка 2l с постоянными коэффициентами (в частности полигармонического) и для области, которая является эллипсоидом в Rⁿ Для полигармонического уравнения в шаре (однородного и неоднородного) алгоритм построения полиномиального решения задачи Дирихле на основе формулы Альманси предложен В.В.Карачиком.

В данной работе рассматривается уравнение Пуассона с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гиперплоскостями. Показано, что краевая задача Дирихле и смешанная краевая задача Дирихле-Неймана с полиномиальными краевыми условиями имеет единственное решение в классе функций полиномиального роста, которое является полиномом. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры. В частности получены формулы, дающие точные значения некоторых интегралов (в том числе и многомерных) и сумм тригонометрических рядов.