Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое

https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000082

Полный текст:

Аннотация

Хорошо известно, что задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре имеет единственное полиномиальное решение (гармонический полином) в случае, если заданным граничным значением является след произвольного полинома на сфере. С.М.Никольский обобщил этот результат на случай краевой задачи первого рода для линейного дифференциального самосопряженного оператора порядка 2l с постоянными коэффициентами (в частности полигармонического) и для области, которая является эллипсоидом в Rn Для полигармонического уравнения в шаре (однородного и неоднородного) алгоритм построения полиномиального решения задачи Дирихле на основе формулы Альманси предложен В.В.Карачиком.

В данной работе рассматривается уравнение Пуассона с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гиперплоскостями. Показано, что краевая задача Дирихле и смешанная краевая задача Дирихле-Неймана с полиномиальными краевыми условиями имеет единственное решение в классе функций полиномиального роста, которое является полиномом. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры. В частности получены формулы, дающие точные значения некоторых интегралов (в том числе и многомерных) и сумм тригонометрических рядов.


Об авторе

О. Д. Алгазин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия


Список литературы

1. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. 4-е изд. М.: Наука, 1966. 443 с.

2. Стейн И.М., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.[Stein E.M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton: Princeton Univ. Press, 1971. 297 p.].

3. Никольский С.М. Краевая задача для многочленов // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 1999. Т. 227. С. 223-236.

4. Никольский С.М. Еще о краевой задаче с многочленами // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 286-288.

5. Карачик В.В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54. № 7. С. 1149-1170. DOI: 10.7868/S0044466914070072

6. Волков Е.А. Критерий разрешимости краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на специальных треугольниках и прямоугольнике в алгебраических многочленах // Тр. Математического ин-та им. В.А.Стеклова. 1999. Т. 227. С. 122-136.

7. Волков Е.А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Тр. Математического ин-та им. В.А.Стеклова. 2001. Т. 232. С. 102-114.

8. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 1. С. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13

9. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э.Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 41-53. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943

10. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 318 с.

11. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 575 с.

12. Widder D.V. Functions harmonic in a strip // Proc. of the Amer. Mathematical Soc. 1961. Vol. 12. No. 1. Pp. 67-72. DOI: 10.2307/2034126

13. , Brawn F.T. The Green and Poisson kernels for the strip R^n×]0,1[ // J. of the London Mathematical Soc. 1970. Vol. 2. Iss. Pt. 3. Pp. 439-454. DOI: 10.1112/jlms/2.Part_3.439

14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 798 с.


Для цитирования:


Алгазин О.Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое. Математика и математическое моделирование. 2017;(6):1-18. https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000082

For citation:


Algazin O.D. Polynomial Solutions of the Boundary Value Problems for the Poisson Equation in a Layer. Mathematics and Mathematical Modeling. 2017;(6):1-18. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000082

Просмотров: 181


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)