Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2017; : 1-14

Оценивание порога в пороговой авторегрессии

Горяинов В. Б.

https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000081

Аннотация

Одной из важнейших моделей описания нелинейных временных рядов является модель пороговой авторегрессии. При решении задачи идентификации пороговой авторегрессионной модели возникает необходимость в оценивании величины порога. Наиболее распространенным методом оценивания порога является метод наименьших квадратов, менее распространен метод наименьших модулей. Оба метода являются частными случаями М-метода.

Целью работы является сравнение при помощи компьютерного моделирования точности перечисленных выше трех методов оценивания порога в модели пороговой авторегрессии. Для простоты изучается стационарная пороговая модель с двумя режимами и одним порогом.

Оценки авторегрессионного порога сравнивались между собой попарно при помощи вычисления их относительной эффективности, равной обратному отношению дисперсий оценок. Точные и асимптотические дисперсии изучаемых оценок порога до сих пор неизвестны. Поэтому дисперсия оценок определялась при помощи компьютерного моделирования.

Основное внимание уделено изучению влияния типа вероятностного распределения обновляющего процесса порогового уравнения на точность оценивания. В работе рассматривались нормальное распределение как наиболее распространенное на практике, а также типичные отклонения от нормального распределения: загрязненное нормальное распределение, двустороннее экспоненциальное распределение, логистическое распределение и распределение Стьюдента.

Результаты моделирования показали, что оценка наименьших квадратов превосходит остальные оценки только при нормальном распределении обновляющей последовательности. Уже при небольшом загрязнении нормального распределения оценка наименьших квадратов становится хуже М-оценки, а с ростом загрязнения становится хуже и оценки наименьших модулей. Для логистического распределения и распределения Стьюдента с большим числом степеней свободы, которые на практике легко перепутать с нормальным распределением, М-оценка эффективнее оценки наименьших квадратов. Если же обновляющая последовательность имеет распределение Стьюдента с небольшим числом степеней свободы, например, с четырьмя, то оценка наименьших квадратов уступает в точности не только М-оценке, но также и оценке наименьших модулей. Для распределения Лапласа как и в большинстве других статистических моделях временных рядов лучшей является оценка наименьших модулей.

Список литературы

1. Chavas J.-P. Modeling population dynamics: a quantile approach // Mathematical Biosciences. 2015. Vol. 262. Pp. 138-146. DOI: 10.1016/j.mbs.2015.01.004

2. Li J. Effects of filtering data on testing asymmetry in threshold autoregressive models // Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics. 2016. Vol. 20. No. 5. Pp. 549-566. DOI: 10.1515/snde-2015-0016

3. Bertone E., O' Halloran K., Stewart R.A., de Oliveira G.F. Medium-term storage volume prediction for optimum reservoir management: A hybrid data-driven approach // J. of Cleaner Production. 2017. Vol. 154. Pp. 353-365. DOI: 10.1016/j.jclepro.2017.04.003

4. Hansen B.E. Threshold autoregression in economics // Statistics and Its Interface. 2011. Vol. 4. No. 2. Pp. 123-127. DOI: 10.4310/SII.2011.v4.n2.a4

5. Tong H. Non-linear time series: A dynamical system approach. Oxf.: Clarendon Press; N.Y.: Oxf. Univ. Press, 1990. 564 p.

6. Exploration of a nonlinear world: an appreciation of Howell Tong's contributions to statistics / Ed. by Kung-Sik Chan. Singapore: World Scientific, 2009. 381 p.

7. Douc R., Moulines E., Stoffer D. Nonlinear time series: Theory, methods and applications with R examples. Boca Raton: CRC Press, 2014. 531 p.

8. Petruccelli J.D., Woolford S.W. A threshold AR(1) model // J. of Applied Probability. 1984. Vol. 21. No. 2. Pp. 270-286. DOI: 10.2307/3213639

9. Li D., Ling Sh. On the least squares estimation of multiple-regime threshold autoregressive models // J. of Econometrics. 2012. Vol. 167. No. 1. Pp. 240-253. DOI: 10.1016/j.ieconom.2011.11.006

10. Maronna R.A., Martin R.D., Yohai V.J. Robust statistics: Theory and methods. Chichester: Wiley, 2006. 403 p.

11. Huber P.J., Ronchetti E.M. Robust statistics. 2nd ed. Hoboken: Wiley, 2009. 354 p.

12. Lehmann E.L., Casella G. Theory of point estimation. 2nd ed. N.Y.: Springer, 1998. 589 p.

13. Chan K.S. Consistency and limiting distribution of the least squares estimator of a threshold autoregressive model // Annals of Statistics. 1993. Vol. 21. No. 1. Pp. 520-533.

14. Wang L., Wang J. The limiting behavior of least absolute deviation estimators for threshold autoregressive models // J. of Multivariate Analysis. 2004. Vol. 89. No. 2. Pp. 243-260. DOI: 10.1016/j.jmva.2004.02.006

15. Olive D.J. Linear regression. N.Y.: Springer, 2017. 489 p.

16. Bissantz N., Dümbgen L., Munk A., Stratmann B. Convergence analysis of generalized iteratively reweighted least squares algorithms on convex function spaces // SIAM J. on Optimization. 2009. Vol. 19. No. 4. Pp. 1828-1845. DOI: 10.1137/050639132

17. Мудров В.И., Кушко В.Л. Метод наименьших модулей. М.: Знание, 1971. 61 с.

18. Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло: учебное пособие. М.: Академия, 2006. 366 с.

19. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. М.: БИНОМ; СПб.: Невский диалект, 2009. 192 с.

20. Zhang L.-X., Chan W.-S., Cheung S.-H., Hung K.-C. A note on the consistency of a robust estimator for threshold autoregressive processes // Statistics & Probability Letters. 2009. Vol. 79. No. 6. Pp. 807-813. DOI: 10.1016/j.spl.2008.10.036

Mathematics and Mathematical Modeling. 2017; : 1-14

Threshold Estimation in Threshold Autoregression

Goryainov V. B.

https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000081

Abstract

One of the most important models to describe nonlinear time series is that of the threshold auto-regression. In solving a problem of the threshold autoregressive model identification, there is a need to estimate the threshold value. The most common method for estimating the threshold is a least-squares estimate technique.  The least absolute deviation method of estimation is less widespread. Both methods are the special cases of the M-method.

The paper objective is to compare the accuracy of the above three threshold estimation methods in the threshold auto-regression model through computer simulation. For simplicity, we study a stationary threshold model at two modes and one threshold.

The estimates of the autoregressive threshold were pairwise compared among themselves by calculating their relative effectiveness being equal to the inverse ratio of the estimate variances. The exact and asymptotic variances of the threshold estimates under study are still unknown. Therefore, the variance of estimates was determined through computer simulation.

The paper focuses on studying the impact of the probability distribution type of the updating process of a threshold equation on the estimate accuracy. Considers the normal distribution as the most common in practice and also the typical deviations from the normal distribution: contaminated normal distribution, two-sided exponential distribution, logistic distribution, and Student distribution.

The simulation results have shown that the least-squares estimate exceeds the other estimates only with the normal distribution of the updating sequence. Even with a light contamination of the normal distribution, the least-squares estimate is worse than the M-estimate, and with increasing contamination, it gets worse than the least absolute deviation estimate as well.

For the logistic distribution and Student distribution with a large number of degrees of freedom, which in practice are easily confused with the normal distribution, the M-estimate is more effective than the least-squares estimate. If the updating sequence has a Student distribution with a small number of degrees of freedom, for example, with four, then the least-squares estimate is inferior not only to the M-estimate, but also to the least absolute deviation estimate. For the Laplace distribution, as in most other statistical models of time series, the least absolute deviation estimate is the best.

References

1. Chavas J.-P. Modeling population dynamics: a quantile approach // Mathematical Biosciences. 2015. Vol. 262. Pp. 138-146. DOI: 10.1016/j.mbs.2015.01.004

2. Li J. Effects of filtering data on testing asymmetry in threshold autoregressive models // Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics. 2016. Vol. 20. No. 5. Pp. 549-566. DOI: 10.1515/snde-2015-0016

3. Bertone E., O' Halloran K., Stewart R.A., de Oliveira G.F. Medium-term storage volume prediction for optimum reservoir management: A hybrid data-driven approach // J. of Cleaner Production. 2017. Vol. 154. Pp. 353-365. DOI: 10.1016/j.jclepro.2017.04.003

4. Hansen B.E. Threshold autoregression in economics // Statistics and Its Interface. 2011. Vol. 4. No. 2. Pp. 123-127. DOI: 10.4310/SII.2011.v4.n2.a4

5. Tong H. Non-linear time series: A dynamical system approach. Oxf.: Clarendon Press; N.Y.: Oxf. Univ. Press, 1990. 564 p.

6. Exploration of a nonlinear world: an appreciation of Howell Tong's contributions to statistics / Ed. by Kung-Sik Chan. Singapore: World Scientific, 2009. 381 p.

7. Douc R., Moulines E., Stoffer D. Nonlinear time series: Theory, methods and applications with R examples. Boca Raton: CRC Press, 2014. 531 p.

8. Petruccelli J.D., Woolford S.W. A threshold AR(1) model // J. of Applied Probability. 1984. Vol. 21. No. 2. Pp. 270-286. DOI: 10.2307/3213639

9. Li D., Ling Sh. On the least squares estimation of multiple-regime threshold autoregressive models // J. of Econometrics. 2012. Vol. 167. No. 1. Pp. 240-253. DOI: 10.1016/j.ieconom.2011.11.006

10. Maronna R.A., Martin R.D., Yohai V.J. Robust statistics: Theory and methods. Chichester: Wiley, 2006. 403 p.

11. Huber P.J., Ronchetti E.M. Robust statistics. 2nd ed. Hoboken: Wiley, 2009. 354 p.

12. Lehmann E.L., Casella G. Theory of point estimation. 2nd ed. N.Y.: Springer, 1998. 589 p.

13. Chan K.S. Consistency and limiting distribution of the least squares estimator of a threshold autoregressive model // Annals of Statistics. 1993. Vol. 21. No. 1. Pp. 520-533.

14. Wang L., Wang J. The limiting behavior of least absolute deviation estimators for threshold autoregressive models // J. of Multivariate Analysis. 2004. Vol. 89. No. 2. Pp. 243-260. DOI: 10.1016/j.jmva.2004.02.006

15. Olive D.J. Linear regression. N.Y.: Springer, 2017. 489 p.

16. Bissantz N., Dümbgen L., Munk A., Stratmann B. Convergence analysis of generalized iteratively reweighted least squares algorithms on convex function spaces // SIAM J. on Optimization. 2009. Vol. 19. No. 4. Pp. 1828-1845. DOI: 10.1137/050639132

17. Mudrov V.I., Kushko V.L. Metod naimen'shikh modulei. M.: Znanie, 1971. 61 s.

18. Mikhailov G.A., Voitishek A.V. Chislennoe statisticheskoe modelirovanie. Metody Monte-Karlo: uchebnoe posobie. M.: Akademiya, 2006. 366 s.

19. Ermakov S.M. Metod Monte-Karlo v vychislitel'noi matematike. M.: BINOM; SPb.: Nevskii dialekt, 2009. 192 s.

20. Zhang L.-X., Chan W.-S., Cheung S.-H., Hung K.-C. A note on the consistency of a robust estimator for threshold autoregressive processes // Statistics & Probability Letters. 2009. Vol. 79. No. 6. Pp. 807-813. DOI: 10.1016/j.spl.2008.10.036