Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Численное решение смешанных задач теории упругости с односторонними связями

https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000078

Полный текст:

Аннотация

В данной работе рассмотрены особенности применения конечно-элементной технологии для решения задач теории упругости с односторонними связями. Тематика данного исследования с одной стороны определяется тем, что многие ответственные детали и узлы машиностроительных и энергомашиностроительных конструкций имеют выраженный контакт в пределах некоторой заданной поверхности. Для оценки прочности и ресурса таких деталей и узлов необходимо располагать надежной информацией о напряженно-деформированном состоянии. Данные о напряженно-деформированном состоянии можно получить, используя современный аппарат математического моделирования, например, конечно-элементную технологию.

Для решения задач теории упругости с односторонними связями можно использовать метод конечных элементов в традиционном классическом виде, но при этом необходимо учитывать некоторые его недостатки. Наиболее существенным является разрывная аппроксимация напряжений и деформации, а также заметно более низкий порядок сходимости аппроксимации для напряжений и деформации по сравнению с перемещениями. Повышение точности путем увеличения густоты конечно-элементной модели и/или перехода к более сложным аппроксимациям не всегда бывает оптимальным, поскольку увеличение размерности дискретной задачи приводит к значительным вычислительным затратам и использованию дорогостоящих вычислительных средств.

Одним из альтернативных вариантов при численном анализе контактных задач теории упругости является применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов, в которых напряжения и/или деформации входят в разрешающие уравнения наряду с перемещениями как равноправные неизвестные. Основным положительным обстоятельством при использовании смешанных формулировок метода конечных элементов является уменьшение погрешности аппроксимации напряжений и деформации, что и приводит к более точной оценке напряженно-деформированного состояния по сравнению с классическим подходом метода конечных элементов в форме метода перемещений. Кроме того, смешанные схемы метода конечных элементов позволяют обеспечить непрерывность аппроксимации не только перемещений, но и напряжений и деформации. Смешанные схемы решения краевых задач приводят к седловым задачам. Для их решения применяют различные итерационные методы. Одним из наиболее эффективных является модифицированный метод SSOR (метод MSSOR), в основе которого лежит метод последовательной верхней релаксации (SOR – Successive Over Relaxation).

В данной работе рассматривается один из вариантов метода конечных элементов в рамках смешанной схемы, основанной на применении функционала Рейсснера. Процедуры предложенного в работе алгоритма использованы для решения задачи о контактном взаимодействии, когда нагруженное внешними силами упругое тело конечных размеров опирается на абсолютно жесткое полупространство. Контакт происходит по выделенной контактной поверхности, которая в общем случае может менять свои размеры в процессе термомеханического нагружения. Алгоритм реализован в виде комплекса прикладных программ.  Выполненные численные исследования одностороннего контактного взаимодействия упругой пластинки и абсолютно жесткого полупространства показали достаточно высокую эффективность разработанного алгоритма и, реализующего его, программного кода.

Об авторе

И. В. Станкевич
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Станкевич Игорь Васильевич

Каф. ФН2, Профессор, SPIN-код (Science Index) 728-1322



Список литературы

1. Чирков А.Ю. Применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов к решению задач о собственных колебаниях упругих тел // Проблемы прочности. 2008. № 2. С. 121 – 140.

2. Лукашевич А.А., Розин Л.А. О решении контактных задач строительной механики с односторонними связями и трением методом пошагового анализа // Инженерно-строительный журнал. 2013. № 1(36). С. 75–81.

3. Можаровский Н.С., Качаловская Н.Е. Приложение методов теории пластичности и ползучести к решению инженерных задач машиностроения: учебник: В 2 ч. Ч. 2: Методы и алгоритмы решения краевых задач. Киев: Выща школа, 1991. 288 с.

4. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н. и др.; отв. ред. Рвачев В.Л. Киев: Наукова думка, 1989. 232 с.

5. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method for solid and structural mechanics. 6th ed. Amst.; Boston: Elsevier; Butterworth-Heinemann, 2005. 631 p.

6. Яковлев М.Е. Математическое моделирование контактного взаимодействия термовязкоупругопластических сред: дис. … канд. техн. наук. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 131 с.

7. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. Спецвып.: Прикладная математика. 2011. С. 134-141.

8. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 223 с.

9. Зарубин В.С., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005. 351 с.

10. Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теории упругости методом конечных элементов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. 106 с.

11. Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 349 с.

12. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 591 с.

13. Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теплопроводности методом конечных элементов: методические указания. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 84 с.

14. Станкевич И.В. Математическое моделирование задач теории упругости с односторонним дискретным контактом // Математика и математическое моделирование. 2015. № 4. С. 93–110. DOI: 10.7463/mathm.0415.0801840

15. Станкевич И.В. Математическое моделирование контактных задач теории упругости с непрерывным односторонним контактом // Математика и математическое моделирование. 2015. № 5. С. 83–96. DOI: 10.7463/mathm.0515.0812348


Для цитирования:


Станкевич И.В. Численное решение смешанных задач теории упругости с односторонними связями. Математика и математическое моделирование. 2017;(6):40-53. https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000078

For citation:


Stankevich I.V. Numerical Solution of Mixed Problems of the Theory of Elasticity with One-Sided Constraints. Mathematics and Mathematical Modeling. 2017;(6):40-53. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000078

Просмотров: 155


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)