Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Производная Дини и обобщение прямого метода Ляпунова

Полный текст:

Аннотация

Современная теория устойчивости для систем дифференциальных уравнений основана на понятии устойчивости по Ляпунову, результатах А.М. Ляпунова и некоторых их обобщениях. В качестве главного метода исследования устойчивости положений равновесия используют анализ первого приближения системы. В литературе этот метод известен как первый метод Ляпунова. Однако этот метод не позволяет делать заключения в критическом случае и тогда может быть использован второй метод Ляпунова, также называемый прямым методом Ляпунова.

Прямой метод Ляпунова основан на существовании функции с определенными свойствами. Функция должна быть положительно определена. Если в некоторой окрестности положения равновесия производная функции в силу системы не положительна, то она называется функцией Ляпунова. Существование функции Ляпунова означает, что положение равновесия устойчиво.

Роль функции Ляпунова не сводится лишь к установлению факта устойчивости положения равновесия (или более сильного свойства асимптотической или экспоненциальной устойчивости). Она дает нижнюю оценку области устойчивости положения равновесия, которая может быть важна в теории управления. Таким образом, построение функции Ляпунова — важная задача даже в том случае, когда факт устойчивости положения равновесия уже установлен.

При этом универсальных методов построения функции Ляпунова для автономной системы дифференциальных уравнений нет. Для решения задачи используют различные численные методы, в которых трудно обеспечить важное условие — дифференцируемость строящейся функции. В то же время условие дифференцируемости в методе Ляпунова не является существенным и связано лишь с характером применяемого математического аппарата. Поэтому важны обобщения метода Ляпунова, направленные на отказ от сильных условий гладкости функции. Одно из таких обобщений — использование производной Дини. Использование производной Дини позволяет строить, например, кусочно-линейные функции Ляпунова.

Соответствующие результаты, связанные с производной Дини, редко входят в стандартные монографии, и цель настоящей статьи — сделать эти результаты более доступными.

Об авторе

А. Н. Канатников
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва ФИЦ ИУ РАН, Москва
Россия

Канатников Анатолий Николаевич

Кафедра "Математическое моделирование", профессор



Список литературы

1. Халил Х.К. Нелинейные системы. Пер с англ. 3-е изд. М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исслед., 2009. 812 с.[Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 2002. 750 p.].

2. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с. [La-Salle J., Lefschetz S. Stability by Liapunov’s direct method. N.Y.; L.: Academic Press, 1961. 134 p.].

3. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение): учеб. пособие. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1984. 232 с.

4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

5. Marinosson S.F. Stability analysis of nonlinear systems with linear programming: A Lyapunov functions based approach: diss. ... Duisburg, 2002. 103 p. Режим доступа: http://purl.oclc.org/NET/duett-02152002-111745 (дата обращения: 10.07.2017).

6. Giesl P., Hafstein S. Existence of piecewise affine Lyapunov functions in two dimensions // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2010. Vol. 371. No. 1. Pp. 233–248. DOI: 10.1016/j.jmaa.2010.05.009

7. Giesl P., Hafstein S. Construction of Lyapunov functions for nonlinear planar systems by linear programming // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2012. Vol. 388. No. 1. Pp. 463–479. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.047

8. Walter W. Analysis I. 2rd ed. B.: Springer, 1990. 388 p. DOI: 10.1007/978-3-662-05707-0


Для цитирования:


Канатников А.Н. Производная Дини и обобщение прямого метода Ляпунова. Математика и математическое моделирование. 2017;(4):18-27.

For citation:


Kanatnikov A.N. The Dini Derivative and Generalization of the Direct Lyapunov Method. Mathematics and Mathematical Modeling. 2017;(4):18-27. (In Russ.)

Просмотров: 195


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)