Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Построение кусочно-линейной функции Ляпунова для динамических систем второго порядка

https://doi.org/10.24108/mathm.0317.0000073

Полный текст:

Аннотация

Рассматривается задача исследования устойчивости положений равновесия динамических систем второго порядка. Представлено описание метода исследования, основанного на построении функции Ляпунова. Метод применим для исследования положений равновесия, которые являются экспоненциально устойчивыми.

Одним из методов анализа характера устойчивости положений равновесия систем обыкновенных дифференциальных уравнений является поиск функции Ляпунова. Необходимо, чтобы найденная функция удовлетворяла набору условий. На сегодняшний день не существует универсальной технологии построения функций Ляпунова. Разработаны подходы, позволяющие строить функции Ляпунова разного вида. Известна методика построения функции Ляпунова, основанная на решении уравнения Зубова [1, 2]. Ее недостатком является необходимость решения дифференциального уравнения в частных производных. В ряде работ функция Ляпунова задается кусочно на различных сеточных разбиениях областей, содержащих положения равновесия системы. В литературе представлены исследования возможностей построения функций Ляпунова для различных способов задания треугольной сетки.

В данной работе описан метод построения кусочно-линейной функции Ляпунова на треугольной сетке. Представлен алгоритм триангуляции области, внутри которой находится положение равновесия системы. В основе данного метода лежит решение задачи линейного программирования. Переменными являются значения функции Ляпунова в узлах сетки и дополнительные константы, которые обеспечивают выполнение условий, налагаемых на искомую функцию. Представленная процедура построения функции Ляпунова является итеративной. Строится начальная триангуляция пространства состояний системы. В случае если решение задачи линейного программирования не существует на текущем шаге, происходит уплотнение сетки и новый поиск решения задачи с новым количеством переменных.

Проанализирована работоспособность описанного алгоритма для различных значений параметра для динамической системы второго порядка. Показано, что количество требуемых итераций зависит от значения параметра. Большое количество итераций влечет за собой существенные вычислительные затраты. Эффективность алгоритма сильно различается в зависимости от собственных значений якобиана системы в положении равновесия. Планируется разработка техники построения функции Ляпунова, которая применима для более широкого класса динамических систем.

Об авторе

Т. С. Касаткина
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия


Список литературы

1. Зубов В.И. Методы А.М. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957. 241 с.

2. Зубов В.И. Устойчивость движения (Методы Ляпунова и их применение): учеб. пособие. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1984. 232 с.

3. Giesl P. Construction of global Lyapunov functions using radial basis functions. B.; N.Y.: Springer, 2007. 166 p. (Lecture Notes in Mathematics; vol. 1904). DOI: 10.1007/978-3-540-69909-5

4. Giesl P., Hafstein S. Existence of piecewise affine Lyapunov functions in two dimensions // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2010. Vol. 371. Iss. 1. Pp. 233-248. DOI: 10.1016/j.jmaa.2010.05.009

5. Крищенко А.П. Исследование асимптотической устойчивости положений равновесия методом локализации инвариантных компактов // Автоматика и телемеханика. 2017. № 6. С. 36-56.

6. Giesl P., Hafstein S. Construction of Lyapunov functions for nonlinear planar systems by linear programming // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2012. Vol. 388. Iss. 1. Pp. 463-479. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.047

7. Marinosson S.F. Lyapunov function construction for ordinary differential equations with linear programming // Dynamical Systems. 2002. Vol. 17. Iss. 2. Pp. 137-150. DOI: 10.1080/0268111011011847

8. Marinosson S.F. Stability analysis of nonlinear systems with linear programming: A Lyapunov functions based approach: PhD thesis. Duisburg, 2002. 103 p.

9. Халил Х.К. Нелинейные системы: пер. с англ. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2009. 832~с. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002].


Для цитирования:


Касаткина Т.С. Построение кусочно-линейной функции Ляпунова для динамических систем второго порядка. Математика и математическое моделирование. 2017;(3):32-43. https://doi.org/10.24108/mathm.0317.0000073

For citation:


Kasatkina T.S. The Piecewise-Linear Lyapunov Function Construction for Dynamical Systems of the Second Order. Mathematics and Mathematical Modeling. 2017;(3):32-43. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0317.0000073

Просмотров: 177


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)