Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Сравнение классических и робастных оценок параметров пороговой авторегрессии

https://doi.org/10.24108/mathm.0317.0000072

Полный текст:

Аннотация

Объект исследования работы – модель пороговой авторегрессии первого порядка с одним порогом, расположенным в нуле. Эта модель описывает стохастический временной ряд с дискретным временем посредством кусочно-линейного уравнения, состоящего из двух линейных классических авторегрессионных уравнений первого порядка. Текущее значение временного ряда вычисляется при помощи одного из этих уравнений. Управляющей переменной, которая определяет выбор между этими двумя уравнениями, является знак предыдущего значения этого же ряда.

Пороговая авторегрессионная модель первого порядка с одним порогом зависит от двух вещественных параметров, которые совпадают с коэффициентами кусочно-линейного порогового уравнения. Эти параметры предполагаются неизвестными. В работе изучаются оценка наименьших квадратов, оценка наименьших модулей и М-оценки указанных параметров. Целью работы является сравнительное исследование точности указанных оценок для основных вероятностных распределений обновляющего процесса порогового авторегрессионного уравнения. Этими распределениями вероятности были нормальное, загрязненное нормальное, логистическое, двойное-экспоненциальное распределения, распределение Стьюдента с различным числом степеней свободы и распределение Коши.

В качестве меры точности каждой оценки была выбрана ее дисперсия, измеряющая величину рассеяния оценки вокруг оцениваемого параметра.  Из двух оценок лучшей считалась оценка с меньшей дисперсией. Дисперсия оценивалась методом компьютерного моделирования. Оценка наименьших модулей определялась при помощи итерационного взвешенного метода наименьших квадратов, М-оценки  находились  методом деформируемого многогранника (метода Нелдера – Мида). Для вычисления оценки наименьших квадратов использовалось явное аналитическое выражение.

Оказалось, что оценка наименьших квадратов является лучшей только при нормальном распределении обновляющего процесса. Для логистического распределения и распределения Стьюдента с большим числом степеней свободы М-оценка с ро-функцией Хьюбера превосходит оценку наименьших квадратов в случае обоих распределений.

Для распределения Лапласа оценка наименьших квадратов является наихудшей, а оценка наименьших модулей наилучшей среди всех оценок.

Для распределения Коши оценка наименьших квадратов имеет несравнимо низкую эффективность по отношению к остальным оценкам.

С уменьшением числа степеней свободы у распределения Стьюдента оценка наименьших квадратов сначала проигрывает только М-оценке с ро-функцией Хьюбера, потом обеим М-оценкам, а затем и оценке наименьших модулей.

Если обновляющий процесс имеет загрязненное нормальное распределение, то М-оценка уступает, причем не намного, оценке наименьших квадратов только при практически полном отсутствии загрязнений.

С ростом доли и уровня загрязнения относительная эффективность М-оценки по отношению к оценке наименьших квадратов  увеличивается, становясь больше единицы для типичного на практике загрязнения.

Об авторе

В. Б. Горяинов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Горяинов Владимир Борисович

д.ф.-м.н., проф. каф. ФН-12



Список литературы

1. Hansen B.E. Threshold autoregression in economics // Statistics and Its Interface. 2011. Vol. 4, no. 2. Pp. 123-127. DOI: 10.4310/SII.2011.v4.n2.a4

2. Tong H. Non-linear time series: A dynamical system approach. Oxf.: Clarendon Press; N.Y.: Oxf. Univ. Press, 1990. 564 p.

3. Douc R., Moulines E., Stoffer D. Nonlinear time series: Theory, methods and applications with R examples. Boca Raton: CRC Press, 2014. 531 p.

4. Li D., Ling Sh. On the least squares estimation of multiple-regime threshold autoregressive models // J. of Econometrics. 2012. Vol. 167. No. 1. Pp. 240-253. DOI: 10.1016/j.jeconom.2011.11.006

5. Wang L., Wang J. The limiting behavior of least absolute deviation estimators for threshold autoregressive models // J. of Multivariate Analysis. 2004. Vol. 89, no. 2. Pp. 243-260. DOI: 10.1016/j.jmva.2004.02.006

6. Горяинов А.В., Горяинова Е.Р. Сравнение эффективности оценок методов наименьших модулей и наименьших квадратов в авторегрессионной модели со случайным коэффициентом // Автоматика и телемеханика. 2016. № 9. C. 84-95.

7. Huber P.J., Ronchetti E.M. Robust statistics. 2nd ed. Hoboken: Wiley, 2009. 354 p.

8. Wilcox R.R. Introduction to robust estimation and hypothesis testing. 3rd ed. Amst.; Boston: Academic Press, 2012. 690 p.

9. Numerical recipes: The art of scientific computing / W.H. Press a.o. 3rd ed. Camb.; N.Y.: Camb. Univ. Press, 2007. 1235 p.

10. Bissantz N., Dumbgen L., Munk A., Stratmann B. Convergence analysis of generalized iteratively reweighted least squares algorithms on convex function spaces // SIAM J. of Optimization. 2009. Vol. 19, no. 4. Pp. 1828-1845. DOI: 10.1137/050639132

11. Горяинов В.Б., Горяинова Е.Р. Асимптотические свойства знаковой оценки коэффициентов авторегрессионного поля // Автоматика и телемеханика. 2015. № 3. C. 62-78.


Для цитирования:


Горяинов В.Б. Сравнение классических и робастных оценок параметров пороговой авторегрессии. Математика и математическое моделирование. 2017;(3):91-104. https://doi.org/10.24108/mathm.0317.0000072

For citation:


Goryainov V.B. Comparison of Classical and Robust Estimates of Threshold Auto-regression Parameters. Mathematics and Mathematical Modeling. 2017;(3):91-104. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0317.0000072

Просмотров: 166


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)