Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2017; : 44-63

Численное исследование асимптотической устойчивости положений равновесия

Воркель А. А., Крищенко А. П.

https://doi.org/10.24108/mathm.0317.0000070

Аннотация

Цель работы состоит в численном анализе асимптотической устойчивости положений равновесия автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе приведённого в статье критерия асимптотической устойчивости и функционального метода локализации инвариантных компактов. В работе сформулированы необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости в терминах инвариантных компактов и положительно инвариантных множеств и описан функциональный метод локализации. Приведены соответствующие теоремы о локализации инвариантных компактов динамических систем.

Для исследования асимптотической устойчивости предложен алгоритм численной итерационной процедуры построения локализирующих множеств для инвариантных компактов, содержащихся в заданном начальном множестве. Критерий асимптотической устойчивости применяется на основании результатов данной процедуры. Автор статьи выполняет проверку условий соответствующей теоремы и проводит обоснование применения данного критерия.

Принцип работы итерационной процедуры продемонстрирован на примерах двумерной и трёхмерной системах дифференциальных уравнений. В статье также приведён пример системы с предельным циклом и показано, что разработанный численный алгоритм и функциональный метод локализации инвариантных компактов можно применять для анализа устойчивости предельных циклов.

Благодаря описанному в настоящей статье методу при анализе асимптотической устойчивости положений равновесия можно обойтись без поиска функции Ляпунова и вычисления собственных чисел матрицы линейного приближения. Таким образом, удаётся избежать трудоёмкой работы со сложными аналитическими структурами.

Численная итерационная процедура применима к системам разных размерностей и делает изложенный алгоритм анализа асимптотической устойчивости универсальным.

Список литературы

1. Крищенко А.П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1995. № 11. С. 1858–1865.

2. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 12. C. 1597–1604.

3. Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles // Computers & Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34. Iss. 2-4. Pp. 325–332. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00130-2

4. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 231 с.

5. Starkov K.E. Compact invariant sets of the Bianchi VIII and Bianchi IX Hamiltonian systems // Physics Letters A. 2011. Vol. 375. Iss. 36. Pp. 3184–3187. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.06.064

6. Starkov K.E. Bounds for compact invariant sets of the system describing dynamics of the nuclear spin generator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2009. Vol. 14. Iss. 6. Pp. 2565–2570. DOI: 10.1016/j.cnsns.2008.08.005

7. Starkov K.E. Localizing bounds for compact invariant sets of nonlinear systems possessing first integrals with applications to Hamiltonian systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20. No. 5. Pp. 1477–1483. DOI: 10.1142/S0218127410026629

8. Халил X.К. Нелинейные системы: пер. с англ. 3-е изд. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исслед., 2009. 812 с. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p.].

9. Sastry S. Nonlinear systems: analysis, stability and control. N.Y.; L.: Springer, 1999. 667 p.

10. Крищенко А.П. Анализ асимптотической устойчивости автономных систем методом локализации инвариантных компактов // Доклады РАН. 2016. Т. 469. № 1. С. 17–20. DOI: 10.7868/S086956521619004X

11. Крищенко А.П. Исследование асимптотической устойчивости в целом методом локализации инвариантных компактов // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 11. С. 1457-1464. DOI: 10.1134/S0374064116110029

12. Рамазанова Х.М. Локализация инвариантных компактов системы Lorenz-84 // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 54–65. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812317

13. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. 2-е изд. М.: Наука, 1990. 486 с.

14. Леонов Г.А. Оценки аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. № 1. С. 21–35.

15. Леонов Г.А. Об оценках аттракторов системы Лоренца // Вестник Лениградского ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. 1988. № 1. С. 32–37.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2017; : 44-63

Numerical Analysis of Asymptotic Stability of Equilibrium Points

Vorkel A. A., Krishchenko A. P.

https://doi.org/10.24108/mathm.0317.0000070

Abstract

The aim of this study is to numerically analyze an asymptotic stability of the equilibrium points of autonomous systems of ordinary differential equations on the basis of the asymptotic stability criterion given in the article and the functional localization method of invariant compact sets. The article formulates the necessary and sufficient conditions for an asymptotic stability in terms of invariant compact sets and positively invariant sets and describes a functional localization method. Presents appropriate localization theorems for invariant compact sets of dynamical systems.

To investigate the asymptotic stability is proposed an algorithm for a numerical iteration procedure to construct the localizing bounds for invariant compact sets contained in a given initial set. Application of the asymptotic stability criterion is based on the results of this procedure. The author of the article verifies the conditions of the appropriate theorem and confirms the use of this criterion.

The examples of two- and three-dimensional systems of differential equations demonstrate a principle of the iteration procedure. The article also gives an example of the system with a limit cycle and it shows that the developed numerical algorithm and the functional localization method of invariant compact sets can be used to analyze stability of the limit cycles.

Thanks to the method described in the article, when analyzing an asymptotic stability of equilibrium points, finding a Lyapunov function and calculating eigenvalues of a matrix of linear approximation are non-essential. Thus, it is possible to avoid labour-intensive work with complex analytical structures.

The numerical iteration procedure can be used in systems of different dimensions and makes the presented algorithm of asymptotic stability analysis universal.

References

1. Krishchenko A.P. Lokalizatsiya predel'nykh tsiklov // Differentsial'nye uravneniya. 1995. № 11. S. 1858–1865.

2. Krishchenko A.P. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov dinamicheskikh sistem // Differentsial'nye uravneniya. 2005. T. 41. № 12. C. 1597–1604.

3. Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles // Computers & Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34. Iss. 2-4. Pp. 325–332. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00130-2

4. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Invariantnye kompakty dinamicheskikh sistem. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2011. 231 s.

5. Starkov K.E. Compact invariant sets of the Bianchi VIII and Bianchi IX Hamiltonian systems // Physics Letters A. 2011. Vol. 375. Iss. 36. Pp. 3184–3187. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.06.064

6. Starkov K.E. Bounds for compact invariant sets of the system describing dynamics of the nuclear spin generator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2009. Vol. 14. Iss. 6. Pp. 2565–2570. DOI: 10.1016/j.cnsns.2008.08.005

7. Starkov K.E. Localizing bounds for compact invariant sets of nonlinear systems possessing first integrals with applications to Hamiltonian systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20. No. 5. Pp. 1477–1483. DOI: 10.1142/S0218127410026629

8. Khalil X.K. Nelineinye sistemy: per. s angl. 3-e izd. M.; Izhevsk: In-t komp'yuternykh issled., 2009. 812 s. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p.].

9. Sastry S. Nonlinear systems: analysis, stability and control. N.Y.; L.: Springer, 1999. 667 p.

10. Krishchenko A.P. Analiz asimptoticheskoi ustoichivosti avtonomnykh sistem metodom lokalizatsii invariantnykh kompaktov // Doklady RAN. 2016. T. 469. № 1. S. 17–20. DOI: 10.7868/S086956521619004X

11. Krishchenko A.P. Issledovanie asimptoticheskoi ustoichivosti v tselom metodom lokalizatsii invariantnykh kompaktov // Differentsial'nye uravneniya. 2016. T. 52. № 11. S. 1457-1464. DOI: 10.1134/S0374064116110029

12. Ramazanova Kh.M. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov sistemy Lorenz-84 // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2015. № 4. S. 54–65. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812317

13. Bautin N.N., Leontovich E.A. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskikh sistem na ploskosti. 2-e izd. M.: Nauka, 1990. 486 s.

14. Leonov G.A. Otsenki attraktorov i sushchestvovanie gomoklinicheskikh orbit v sisteme Lorentsa // Prikladnaya matematika i mekhanika. 2001. T. 65. № 1. S. 21–35.

15. Leonov G.A. Ob otsenkakh attraktorov sistemy Lorentsa // Vestnik Lenigradskogo un-ta. Ser. 1: Matematika. Mekhanika. Astronomiya. 1988. № 1. S. 32–37.