Численное исследование асимптотической устойчивости положений равновесия

Цель работы состоит в численном анализе асимптотической устойчивости положений равновесия автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе приведённого в статье критерия асимптотической устойчивости и функционального метода локализации инвариантных компактов. В работе сформулированы необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости в терминах инвариантных компактов и положительно инвариантных множеств и описан функциональный метод локализации. Приведены соответствующие теоремы о локализации инвариантных компактов динамических систем.

Для исследования асимптотической устойчивости предложен алгоритм численной итерационной процедуры построения локализирующих множеств для инвариантных компактов, содержащихся в заданном начальном множестве. Критерий асимптотической устойчивости применяется на основании результатов данной процедуры. Автор статьи выполняет проверку условий соответствующей теоремы и проводит обоснование применения данного критерия.

Принцип работы итерационной процедуры продемонстрирован на примерах двумерной и трёхмерной системах дифференциальных уравнений. В статье также приведён пример системы с предельным циклом и показано, что разработанный численный алгоритм и функциональный метод локализации инвариантных компактов можно применять для анализа устойчивости предельных циклов.

Благодаря описанному в настоящей статье методу при анализе асимптотической устойчивости положений равновесия можно обойтись без поиска функции Ляпунова и вычисления собственных чисел матрицы линейного приближения. Таким образом, удаётся избежать трудоёмкой работы со сложными аналитическими структурами.

Численная итерационная процедура применима к системам разных размерностей и делает изложенный алгоритм анализа асимптотической устойчивости универсальным.

1. Крищенко А.П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1995. № 11. С. 1858–1865.

2. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 12. C. 1597–1604.

3. Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles // Computers & Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34. Iss. 2-4. Pp. 325–332. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00130-2

4. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 231 с.

5. Starkov K.E. Compact invariant sets of the Bianchi VIII and Bianchi IX Hamiltonian systems // Physics Letters A. 2011. Vol. 375. Iss. 36. Pp. 3184–3187. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.06.064

6. Starkov K.E. Bounds for compact invariant sets of the system describing dynamics of the nuclear spin generator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2009. Vol. 14. Iss. 6. Pp. 2565–2570. DOI: 10.1016/j.cnsns.2008.08.005

7. Starkov K.E. Localizing bounds for compact invariant sets of nonlinear systems possessing first integrals with applications to Hamiltonian systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20. No. 5. Pp. 1477–1483. DOI: 10.1142/S0218127410026629

8. Халил X.К. Нелинейные системы: пер. с англ. 3-е изд. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исслед., 2009. 812 с. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p.].

9. Sastry S. Nonlinear systems: analysis, stability and control. N.Y.; L.: Springer, 1999. 667 p.

10. Крищенко А.П. Анализ асимптотической устойчивости автономных систем методом локализации инвариантных компактов // Доклады РАН. 2016. Т. 469. № 1. С. 17–20. DOI: 10.7868/S086956521619004X

11. Крищенко А.П. Исследование асимптотической устойчивости в целом методом локализации инвариантных компактов // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 11. С. 1457-1464. DOI: 10.1134/S0374064116110029

12. Рамазанова Х.М. Локализация инвариантных компактов системы Lorenz-84 // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 54–65. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812317

13. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. 2-е изд. М.: Наука, 1990. 486 с.

14. Леонов Г.А. Оценки аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. № 1. С. 21–35.

15. Леонов Г.А. Об оценках аттракторов системы Лоренца // Вестник Лениградского ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия. 1988. № 1. С. 32–37.