Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2017; : 39-51

Элементы анизотропийного анализа линейных дискретных систем

Белов И. Р.

https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000068

Аннотация

При исследовании поведения динамических систем следует учитывать внешние возмущения, действующие на систему. В качестве одного из способов описания меры воздействия внешних возмущений на систему в данной статье вводится понятие анизотропийной нормы системы. В состав определения анизотропийной нормы входят некоторые понятия из теории информации, такие как относительная энтропия и анизотропия. Эти определения описаны в теоретических выкладках в начале статьи. Рассматриваемую норму системы можно вычислить несколькими способами. В данной статье рассмотрены два метода – в частотной области и в пространстве состояний. Для нахождения нормы в пространстве состояний необходимо найти решение уравнения Риккати. Эта задача является довольно трудоемкой, посему при вычислении искомой нормы используются алгоритмы, в которых уравнение Риккати заменяется системой линейных матричных неравенств, решение которых легче с точки зрения численных методов. Программная реализация методов вычисления рассматриваемой нормы разработана с использованием среды MATLAB. С помощью этой программы получены результаты вычислений анизотропийной нормы для заданной линейной дискретной системы. Эти результаты представлены в статье в виде графиков.

Статья является составной частью квалификационной работы магистра “Основные критерии качества в теории линейных систем”. В данной работе рассматриваются различные критерии качества, решение задачи оптимального управления для каждого из них и сравнение полученных результатов для разных критериев. Анизотропийная норма, рассмотренная в данной статье, является одним из рассматриваемых критериев качества.

Список литературы

1. Кустов А.Ю., Курдюков А.П., Начинкина Г.Н. Стохастическая теория анизотропийного робастного управления. М.: ИПУ РАН, 2012. 127 с.

2. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов А.В. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // Доклады РАН. 1995. Т. 342. № 5. С. 583-585.

3. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов А.В. Асимптотика анизотропийной нормы линейных стационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1999. № 3. С. 78-87.

4. Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semenov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time-invariant systems // 13th IFAC World Congress (San Francisco, CA, USA, July 1996): Proc. 1996. Pp. 179-184.

5. Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semenov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic H-infinity optimization problem // 13th IFAC World Congress (San Francisco, CA, USA, July 1996): Proc. 1996. Pp. 427-432.

6. Gray R.M. Probability, random processes, and ergodic properties. 2nd ed. Dordrecht; N.Y.: Springer, 2009. 322 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-1090-5

7. Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // Автоматика и телемеханика. 2006. № 8. С. 92-111.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2017; : 39-51

The Basics of Anisotropy-Based Analysis of Discrete Time-Invariant Systems

Belov I. R.

https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000068

Abstract

When investigating a behavior of dynamical systems, we should take into account the external noises, which have an effect on the system. The article introduces a concept of the anisotropy-based norm of the system as one of the ways to describe the measure of the effect of external disturbances on the system. The definition of the anisotropic norm includes some concepts from information theory, such as relative entropy and anisotropy. The theoretical section at the beginning of the article describes these definitions. The considered norm of the system can be evaluated in several ways. The article examines two methods - in the frequency domain and in the state space. To find the norm in the state space it is necessary to find the solution of the Riccati equation. This problem is rather laborious. So the algorithms to avoid the solution of Riccati equation are used in application of anisotropy-based norm’s evaluation methods. The principle of these algorithms is replacement of Riccati equation by the system of linear matrix inequalities. The software implementation of methods under consideration is designed using the MATLAB packages. The calculation results of the anisotropy-based norm for a given linear discrete system are obtained using this program. The article presents these results as graphs.

This article enters into the Master's qualifying work "Basic quality criteria in the theory of linear systems". In this paper we consider various quality criteria, the solution of the optimal control problem for each of them, and compare the results obtained for different criteria. The anisotropy-based norm considered in the article is one of the quality criteria.

References

1. Kustov A.Yu., Kurdyukov A.P., Nachinkina G.N. Stokhasticheskaya teoriya anizotropiinogo robastnogo upravleniya. M.: IPU RAN, 2012. 127 s.

2. Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semenov A.V. Anizotropiya signalov i entropiya lineinykh statsionarnykh sistem // Doklady RAN. 1995. T. 342. № 5. S. 583-585.

3. Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semenov A.V. Asimptotika anizotropiinoi normy lineinykh statsionarnykh sistem // Avtomatika i telemekhanika. 1999. № 3. S. 78-87.

4. Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semenov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time-invariant systems // 13th IFAC World Congress (San Francisco, CA, USA, July 1996): Proc. 1996. Pp. 179-184.

5. Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semenov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic H-infinity optimization problem // 13th IFAC World Congress (San Francisco, CA, USA, July 1996): Proc. 1996. Pp. 427-432.

6. Gray R.M. Probability, random processes, and ergodic properties. 2nd ed. Dordrecht; N.Y.: Springer, 2009. 322 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-1090-5

7. Vladimirov I.G., Daimond F., Kloeden P. Anizotropiinyi analiz robastnogo kachestva lineinykh nestatsionarnykh diskretnykh sistem na konechnom vremennom intervale // Avtomatika i telemekhanika. 2006. № 8. S. 92-111.