Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

О спектре периодических операторов с разбегающимися возмущениями

https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000063

Полный текст:

Аннотация

В произвольной области многомерного пространства рассматривается произвольный периодический оператор с конечным числом разбегающихся возмущений. Возмущениями являются произвольные локализованные операторы. Разбегающиеся возмущения вводятся с помощью операторов сдвига, возмущающих операторов и некоторых весовых функций, удовлетворяющих некоторому набору условий.

Целью работы является изучение спектра возмущённого оператора при стремлении к бесконечности расстояний между областями, в которых расположены возмущений.

Подобная постановка задачи является достаточно общей и ранее не исследованной. Во всех предыдущих работах рассматривались лишь спектральные свойства дифференциальных операторов с разбегающимися возмущениями.

К основным результатам работы относят следующие:

  • инвариантность существенного спектра возмущённого оператора относительно возмущений.
  • существование простого и изолированного собственного значения возмущённого оператора, сходящегося к простому и изолированному собственному значению предельного оператора.
  • полные асимптотические ряды для возмущённого собственного значения и возмущённой собственной функции.
  • доказательство равномерной сходимости данных рядов и вывод явных формул для их коэффициентов.

Методика, с помощью которой были получены результаты работы, заключается в сведении уравнения на собственные значения к регулярно возмущённому операторному уравнению в специальном гильбертовом пространстве. Малость возмущения удалось описать двумя характерными малыми параметрами. Применение затем адаптированной версии метода Бирмана-Швингера, позволяет свести задачу к анализу некоторого операторного уравнения и поиску нулей некоторой голоморфной функции.

Об авторе

А. М. Головина
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Головина Анастасия Михайловна

кафедра математического моделирования

должность доцент



Список литературы

1. Borisov D. Asymtotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10. № 2. Pp. 155-196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1

2. Borisov D., Exner P. Exponential splitting of bound states in a waveguide with a pair of distant windows // J. of Physics A: Mathematical and General. 2004. Vol. 37. No. 10. Pp. 3411-3428. DOI: 10.1088/0305-4470/37/10/007

3. Borisov D. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. № 7. Pp.1371-1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4

4. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85. № 3. Pp. 471-479. DOI: 10.1007/BF01208725

5. Harrell E.M. Double wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75. № 3. Pp. 239-261. DOI: 10.1007/BF01212711

6. Hoegh-Krohn R., Mebknout M. The multiple well problem: asymptotic behavior of the eigenvalues and resonances // Trends and developments in the Eighties. Singapore: World Scientific, 1985. Pp. 244-272.

7. Tamura H. Existence of bound states for double well potentials and the Efimov effect // Functional-analytic methods for partial differential equations. B.; N.Y.: Springer, 1990. Pp. 173-186. DOI: 10.1007/BFb0084905

8. Aktosun T., Klaus M., Van der Mee C. On the number of bound states for the one-dimensional Schrödinger equation // J. of Mathematical Physics. 1998. Vol. 39. № 9. Pp. 4249-4256. DOI: 10.1063/1.532510

9. Morgan J. D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // Intern. J. of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17. № 6. Pp. 1143-1166. DOI: 10.1002/qua.560170609

10. Graffi S., Harrell E.M.II, Grecchi V., Silverstone H.J. The 1/R expansion for H_2^+: analyticity, summability and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165. № 2. Pp. 441-483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7

11. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular force series (1/R- expansion) // Theoretica Chimica Acta. 1976. Vol. 41. № 1. Pp. 7-15. DOI: 10.1007/BF00558020

12. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A: Physique Theorique. 1981. Vol. 34. No. 4. Pp. 405-417.

13. Klaus M., Simon B. Binding of Schrödinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A: Physique Theorique. 1979. Vol. 30. № 2. Pp. 83-87.

14. Pinchover Y. On the localization of binding for Schrödinger operators and its extension to elliptic operators // J. d’Analyse Mathematique. 1995. Vol. 66. No. 1. Pp. 57-83. DOI: 10.1007/BF02788818

15. Harrell E.M., Klaus M. On the double-well problem for Dirac operators // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A: Physique Theorique. 1983. Vol. 38. № 2. Pp. 153-166.

16. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem // Symmetry in nonlinear mathematical physics: 4th Intern. Conf. (Kyiv, Ukraine, July 9-15): Proc. Pt. 2. Kyiv, 2002. Pp. 672-675.

17. Kondej S., Veseliĉ I. Lower bounds on the lowest spectral gap of singular potential Hamiltonians // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. № 1. Pp. 109-134. DOI: 10.1007/s00023-006-0302-8

18. Головина А.М. Исследования спектральных свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор) // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 2. С. 1-22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859

19. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189. № 3. Pp. 342-364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1

20. Головина А.М. О спектре периодических эллиптических операторов с разбегающимися возмущениями в пространстве // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25. № 5. С. 32-60.

21. Головина А.М. О дискретном спектре возмущённого периодического дифференциального оператора // Доклады Академии наук. 2013. Т. 448. № 3. С. 258-260. DOI: 10.7868/S0869565213030043

22. Golovina А.М. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space // Russian Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19. № 2. Pp. 182-192. DOI: 10.1134/S1061920812020045

23. Головина А.М. Резольвенты операторов с разбегающимися возмущениями // Математические заметки. 2012. Т. 91. Вып. 3. С. 464-466. DOI: 10.4213/mzm9318

24. Головина А.М. Резольвенты и спектры периодических операторов с разбегающимися возмущениями: дис. … канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2013. 116 с.

25. Головина А.М. Резольвенты и спектры периодических операторов с разбегающимися возмущениями: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2013. 18 с.

26. Борисов Д.И., Головина А.М. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. № 2. С. 65-73.

27. Борисов Д.И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном // Математический сборник. 2006. Т. 197. № 4. С. 3-32. DOI: 10.4213/sm1545

28. Гадыльшин Р.Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси // Теоретическая и математическая физика. 2002. Т. 132. № 1. С. 97-104. DOI: 10.4213/tmf349

29. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с. [Kato T. Perturbation theory for linear operators. B.; N.Y.: Springer, 1966. 592 p.].

30. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1-2. 2-е изд. М.: Наука, 1967-1968.


Для цитирования:


Головина А.М. О спектре периодических операторов с разбегающимися возмущениями. Математика и математическое моделирование. 2017;(2):1-24. https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000063

For citation:


Golovina A.M. On the Spectrum of Periodic Operators with Distant Perturbations. Mathematics and Mathematical Modeling. 2017;(2):1-24. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000063

Просмотров: 161


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)