Замена переменной при решении смешанных задач для уравнений математической физики с неоднородными краевыми условиями

В статье рассмотрена смешанная начально- краевая задача для уравнения параболического типа с неоднородными граничными  условиями.  Классические методы поиска аналитического решения таких задач на первом этапе предусматривают замену переменной, приводящую к задаче с однородными краевыми условиями. В справочной литературе ([1]) приведены, как правило, простейшие виды замены переменной, при которых новая и старая неизвестные функции различаются на линейное по пространственной переменной слагаемое.  Вид этого добавочного слагаемого  зависит от типа краевых условий, но никак не связан с рассматриваемым уравнением. Причем в случае второй краевой задачи приходится использовать квадратичный добавок, поскольку линейная замена  для этого типа условий может не существовать. В учебной литературе ([2]- [4]) обычно ограничиваются рассмотрением только первой краевой задачи в общей постановке.

В работе рассмотрена  замена переменной, принципиально учитывающая вид линейного дифференциального оператора.  Именно, в качестве добавочного слагаемого предложено использовать параметрически зависящее от времени решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, получаемого из исходного уравнения в частных производных методом разделения переменных Фурье.

Доказано существование предлагаемой замены для краевых условий любого типа на примере  нестационарного уравнения теплопроводности при наличии теплообмена с окружающей средой.  В этом случае добавочное слагаемое представляет собой линейную комбинацию гиперболических  функций. Показано, что кроме «нечувствительности» к типу краевых условий к преимуществам новой замены в сравнении с традиционной линейной (или квадратичной) заменой следует отнести значительно более простую структуру получаемого решения. Именно, описанный подход  позволяет получить решение с четко выделенной стационарной компонентой в случае, если стационарность имеет место, при значениях временной переменной, превышающей время релаксации.

Этот эффект распространяется не только на уравнения параболического типа , но также наблюдается и  в уравнениях, описывающих колебательные процессы при наличии затухания. Также показано, что в простейшем частном случае уравнения с постоянными коэффициентами  при  отсутствии теплообмена с окружающей средой предлагаемая  замена становится необходимо линейной и совпадает с классической.

Использование предложенного подхода позволит расширить спектр учебных и учебно- исследовательских задач в процессе изучения курса «Уравнения математической физики» и руководстве курсовой работой студентов различных инженерных специальностей.

1. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

2. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 367 с.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 6-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

4. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. 398 с.

5. Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Смешанные задачи для уравнений математической физики. Метод Фурье. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017.

6. Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши: Метод. указания к выполнению домашнего задания. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2007. 68 с.

7. Облакова Т.В. Метод фундаментального решения в курсах «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики» // Инженерный вестник. 2015. № 4. С. 1001-1005. Режим доступа: http://engbul.bmstu.ru/doc/730377.html (дата обращения 17.05.2017).