Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Неклассические лапласианы Леви в стохастическом анализе

https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000060

Полный текст:

Аннотация

Лапласиан Леви и связанные с ними конструкции наиболее изучены в стохастическом исчислении Хиды (белошумном анализе). Это обусловлено тем, что естественная область определения (классического) лапласиана Леви в стохастическом анализе над мерой Винера является подпространством пространства белошумных обобщенных функционалов. Интерес же к детерминистскому лапласиану Леви обусловлен его связью с калибровочными полями. А именно, уравнения Янга-Миллса для связности эквивалентны уравнению Лапласа-Леви для параллельного переноса (см. работу Л. Аккарди, П. Джибилиско и И. В. Воловича [10], а также работы [11,18]). В статье [19] автора был введен лапласиан Леви, определенный на Соболевском классе над мерой Винера, и рассмотрена его связь со стохастическим параллельным переносом и уравнениями Максвелла, которые являются линейным случаем уравнений Янга-Миллса. В настоящей работе строится специальное пространство Хиды-Кубо-Такенаки и семейство неклассических лапласианов Леви, действующих на обобщенных белошумных функционалах. Это семейство включает в себя семейство экзотических лапласианов Леви, которое, в свою очередь, включает в себя классический лапласиан Леви. В работе показано, что один из неклассических лапласианов Леви, не являющийся при этом экзотическим, с точностью до естественного изоморфизма совпадает с лапласианом Леви, введенным в статье [19]. Кроме того, в настоящей работе доказывается формула, связывающая различные элементы семейства неклассических лапласианов Леви с помощью оператора вторичного квантования. При этом используется идея из работ [6,7]. Можно ожидать, что результаты настоящей работы можно обобщить на некоммутативный случай полей Янга-Миллса. Также можно ожидать, что результаты останутся верны для пространств Хиды-Кубо-Такенаки общего вида.

 

Об авторе

Б. О. Волков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва; Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, Москва
Россия

Волков Борис Олегович

ФН-12

6676-7412



Список литературы

1. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967. 510 c. [Levy P. Probleme concrets d’analyse fonctionnelle. 2. ed. P.: Gauthier-Villars, 1951. 484 p.].

2. Авербух В. И., Смолянов О. Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах // Успехи математических наук. 1967. Т. 22. № 6. С. 201–258. DOI: 10.1070/RM1967v022n06ABEH003761

3. Accardi L., Smolyanov O.G. On Laplacians and traces // Rendiconti del Seminario Matematico dell’Universita di Bari. 1993. Vol. 250. Pp. 1–25.

4. Аккарди Л., Смолянов О. Г. Классические и неклассические лапласианы Леви // Доклады Академии наук. 2007. Т. 417. № 1. C. 7-11.

5. Аккарди Л., Смолянов О. Г. Обобщенные лапласианы Леви и чезаровские средние // Доклады Академии наук. 2009. Т. 424. № 5. C. 583-587.

6. Accardi L., Ji U.C., Saito K. Eхоtiс Laplacians and derivatives of white noise // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2011. Vol. 14. № 1. Pp. 1-14. DOI: 10.1142/S0219025711004262

7. Accardi L., Ji U.C., Saito K. The Exotic (higher order Levy) Laplacians generate the Markov processes given by distribution derivatives of white noise // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2013. Vol. 16. No. 3. Pp. 1350020-1/26. DOI: 10.1142/S0219025713500203

8. Accardi L., Ji U.C., Saito K. Higher order multi-dimensional extensions of Cesaro theorem // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2015. Vol. 18. № 4. P. 1550030 [14 p.]. DOI: 10.1142/S0219025715500307

9. Volkov B.O. Hierarchy of Levy-Laplacians and quantum stochastic processes // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2013. Vol. 16. No. 4. Pp. 1350027-1/20. DOI: 10.1142/S0219025713500276

10. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russian J. of Mathematical Physics. 1994. Vol. 2. № 2. Pp. 235-250.

11. Leandre R., Volovich I.V. The stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4. No. 2. Pp. 161-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

12. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. B.; N.Y.: Springer, 2006. 382 p.

13. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997. 352 c.

14. Obata N. White noise calculus and Fock space. B.; N.Y.: Springer, 1994. 183 p.

15. Kuo H.-H. White noise distribution theory. Boca Raton: CRC Press, 1996. 378 p.

16. Волков Б.О. Лапласианы Леви и связанные с ними конструкции: дис. …канд. физ.-мат. наук. М., 2014. 94 с.

17. Волков Б.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 19. № 2. C. 241–258. DOI: 10.14498/vsgtu1372

18. Волков Б. О. Лапласианы Леви и инстантоны // Труды Математического ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 2015. T. 290. C. 226–238. DOI: 10.1134/S037196851503019X

19. Волков Б.О. Стохастические лапласиан и даламбертиан Леви и уравнения Максвелла // Математика и математическое моделирование. 2015. № 6. С. 1-16. DOI: 10.7463/mathm.0615.0822138


Для цитирования:


Волков Б.О. Неклассические лапласианы Леви в стохастическом анализе. Математика и математическое моделирование. 2017;(2):25-38. https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000060

For citation:


Volkov B.O. Non-classical Levy Laplacians in the Stochastic Analysis. Mathematics and Mathematical Modeling. 2017;(2):25-38. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000060

Просмотров: 213


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)