Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

О приближении значений гипергеометрической функции с параметром из вещественного квадратичного поля

https://doi.org/10.24108/mathm.0117.0000057

Полный текст:

Аннотация

При изучении арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций по ходу рассуждения всегда возникает необходимость оценить снизу модуль отличного от нуля целого алгебраического числа. Такая оценка удовлетворяет всем требованиям лишь в случае, когда упомянутое алгебраическое число является рациональным или лежит в некотором мнимом квадратичном поле. Трудности, связанные с тем, что ненулевое целое число из произвольного алгебраического поля может быть сколь угодно малым по абсолютной величине, удается преодолеть далеко не всегда.

Дополнительные проблемы создает также и то, что общий наименьший знаменатель первых  коэффициентов гипергеометрического ряда с иррациональными параметрами слишком быстро растет при , стремящемся к бесконечности. Последнее обстоятельство не позволяет применить принцип Дирихле для построения начальной функциональной приближающей формы, а построение такой формы обычно является первым шагом на пути к получению соответствующего арифметического результата.

Две указанные трудности приводят к тому, что многочисленные общие теоремы об арифметических свойствах сумм обобщенных гипергеометрических рядов с рациональными параметрами не удается распространить на случай, когда параметры берутся из произвольного поля алгебраических чисел.

В работе рассматривается гипергеометрическая функция частного вида, единственный параметр которой является квадратичной иррациональностью. Указанные выше трудности преодолеваются с помощью нескольких различных приемов. Линейная приближающая форма, с которой начинается рассуждение, строится с помощью метода, в котором одновременно используются элементы двух различных подходов к такому построению: применение принципа Дирихле сочетается с эффективным методом. Этот этап не присутствует в работе явно, поскольку осуществляется ссылка на уже известные теоремы. Проблема, связанная с тем, что целое число из вещественного квадратичного поля может быть сколь угодно малым по абсолютной величине, решается с помощью известного тождества из теории специальных функций. Кроме того, используются особые приемы технического характера, которые позволяют уточнить полученные ранее количественные результаты.

Об авторе

П. Л. Иванков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

кафедра "Математическое моделирование"



Список литературы

1. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.

2. Siegel C.L. Über einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abhandlungen der Preussische Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse. 1929–1930. № 1. S. 1–70.

3. Osgood C.F. Some theorems on diophantine approximation // Trans. of the American Mathematical Society. 1966. Vol. 123. № 1. Pp. 64–87. DOI: 10.2307/1994613

4. Галочкин А.И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8. № 1. С. 19–28. DOI: 10.1007/BF01093438

5. Иванков П.Л. О совместных приближениях значений некоторых целых функций числами из кубического поля // Вестник Московского ун-та. Сер.1: Математика, механика. 1987. № 3. С. 53–56.

6. Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами // Сибирский математический журнал. 1993. Т. 34. № 5. С. 53–62.

7. Bailey W.N. Products of generalized hypergeometric series // Proc. of the London Mathematical Society. 1928. Vol. s2-28. No. 1. Pp. 242–254. DOI: 10.1112/plms/s2-28.1.242

8. Салихов В.Х. О приводимости и линейной приводимости линейных дифференциальных уравнений // Вестник Московского ун-та. Сер. 1: Математика и механика. 1989. № 3. С. 3–8.

9. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 10-е изд. М.: Наука, 1990. 624 с.

10. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: пер с нем. Ч. 1. М.: Наука, 1978. 391 с. [Polya G., Szego G. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. 3. Aufl. Bd 1. B.; N.Y.: Springer, 1964.].

11. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207–214. DOI: 10.1017/CBO09780511897184.013

12. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1. № 2. Pp. 27–32.

13. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 1. С. 191–206.

14. Иванков П.Л. О совместных приближениях, учитывающих специфику однородного случая // Математические заметки. 2002. Т. 71. № 3. С. 390–397. DOI: 10.4213/mzm354

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: пер. с англ. 2-е изд. Т. 1. М.: Наука, 1973. 294 с. [Higher transcendental functions / H. Bateman, A. Erdelyi. Vol. 1. N.Y.: McGraw-Hill Publ. Co., 1953.].


Для цитирования:


Иванков П.Л. О приближении значений гипергеометрической функции с параметром из вещественного квадратичного поля. Математика и математическое моделирование. 2017;(1):25-33. https://doi.org/10.24108/mathm.0117.0000057

For citation:


Ivankov P.L. On the Hyper-geometric Function Value Approximation to the Parameter from the Real Quadratic Field. Mathematics and Mathematical Modeling. 2017;(1):25-33. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0117.0000057

Просмотров: 150


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)