Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

О соотношениях в универсальных лиевски нильпотентных ассоциативных алгебрах класса 3

https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855437

Полный текст:

Аннотация

Пусть R – ассоциативное коммутативное кольцо с единицей; пусть A – ассоциативная R-алгебра с единицей. Для произвольных элементов di(i = 1, … , n) алгебры  A определим левонормированный коммутатор [d1, d2, … , dn] рекурсивно, полагая [d1, d2] = d1d2d2d1, [d1, … , d(n-1), dn] = [[d1, … , d(n-1)], dn] (n > 2). Для любого n > 1 обозначим через T(n) (A) двусторонний идеал в A, порожденный всеми коммутаторами [d1, d2, … , dn] для всевозможных di из A. Напомним, что алгебра A называется  лиевски нильпотентной класса не выше (n-1), если T(n) (A) = 0.

Пусть теперь A = R < X > - свободная ассоциативная R-алгебра с единицей с непустым множеством X свободных порождающих. Пусть T(n) = T(n) (A). Факторалгебра A / T(n) является универсальной (или, в другой терминологии, относительно свободной) лиевски нильпотентной класса (n-1) ассоциативной R-алгеброй с единицей, порожденной множеством X. Такие универсальные алгебры и алгебры, близкие к ним, активно изучаются последние 10 лет. Для их исследования важное значение имеет информация о соотношениях между порождающими этих универсальных алгебр.

Пусть Z – кольцо целых чисел. Периодическая часть аддитивной группы Z< X > / T(4) была явно описана в [4]. Это описание опирается на следующий результат:

Пусть R – произвольное ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей. Тогда T(4) порождается, как двусторонний идеал в A, многочленами

(1)                                [Y1, Y2, Y3, Y4] ,

(2)                                [Y1, Y2, Y3] [Y4, Y5, Y6] ,

(3)                     [Y1, Y2] [Y3, Y4, Y5] + [Y1, Y5] [Y3, Y4, Y2] ,    

(4)                     [Y1, Y2] [Y3, Y4, Y5] + [Y1, Y4] [Y3, Y2, Y5] ,  

(5)                     ([Y1, Y2] [Y3, Y4] + [Y1, Y3] [Y2, Y4]) [Y5, Y6] ,

где для всех i элементы Yi лежат в X.

Пусть I – двусторонний идеал в A, порожденный всеми многочленами (1) – (5). В [4] было доказано, что I = T(4), то есть

i)                     I содержится в T(4);

ii)                  T(4) содержится в I.

Доказательство пункта ii) в [4] проводится довольно сложной совместной индукцией по степени некоммутативных многочленов из пяти определенных семейств. Цель данной статьи – дать новое доказательство пункта ii), более простое, чем в [4]. Наше доказательство проводится путем непосредственных вычислений с использованием ряда упрощений и не требует индукции. Более точно, доказано, что идеал T(4) порождается (как двусторонний идеал в A) коммутаторами вида [a, Y1, b, Y2], где Y1, Y2  - элементы из X и a, b – произведения элементов из X. После этого проверяется, что коммутаторы такого вида лежат в I, а потому T(4) содержится в I.

Об авторе

Г. С. Дерябина
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия


Список литературы

1. Jennings S.A. On rings whose associated Lie rings are nilpotent // Bulletin of the American Mathematical Society. 1947. Vol. 53. P. 593–597. DOI: 10.1090/S0002-9904-1947-08844-3

2. Levin F., Sehgal, S. On Lie nilpotent group rings // Journal of Pure and Applied Algebra. 1985. Vol. 37. P. 33–39. DOI: 10.1016/0022-4049(85)90085-4

3. Красильников А.Н. О полугрупповой и лиевской нильпотентности ассоциативных алгебр // Математические заметки. 1997. Т. 62, № 4. С. 510–519. DOI: 10.4213/mzm1634

4. Deryabina G., Krasilnikov A. The torsion subgroup of the additive group of a Lie nilpotent associative ring of class 3 // Journal of Algebra. 2015. Vol. 428. P. 230–255. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2015.01.009

5. Kanel-Belov A., Karasik Ya., Rowen L.H. Computational Aspects of Polynomial Identities. Vol. 1. Kemer's Theorems. Boca Raton-London-New York: CRC Press, 2016, 408 p.

6. Гришин А.В., Пчелинцев С.В. О центрах относительно свободных ассоциативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности // Математический сборник. 2015. Т. 206, № 11. С. 113–130. DOI: 10.4213/sm8474

7. Киреева Е.А. О квантовой лиевской нильпотентности ступени 2 // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. жур. 2016. № 3. С. 10–17. DOI: 10.7463/mathm.0316.0846913

8. Feigin B., Shoikhet B. On [A, A]/[A, A, A] and on a Wn-action on the consecutive commutators of free associative algebras // Mathematical Research Letters. 2007. Vol. 14, no. 5. P. 781–795. DOI: 10.4310/MRL.2007.v14.n5.a7

9. Abughazalah N., Etingof P. On properties of the lower central series of associative algebras // Journal of Algebra and its Applications. 2016. Vol. 15, iss. 10. Art. no. 1650187 (24 pages). DOI: 10.1142/S0219498816501875

10. Bhupatiraju S., Etingof P., Jordan D., Kuszmaul W., Li J. Lower central series of a free associative algebra over the integers and finite fields // Journal of Algebra. 2012. Vol. 372. P. 251–274. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2012.07.052

11. Jordan D., Orem H. An algebro-geometric construction of lower central series of associative algebras // International Mathematics Research Notices. 2015. Vol. 2015. №. 15. P. 6330–6352. DOI: 10.1093/imrn/rnu125

12. Deryabina G., Krasilnikov A. Products of commutators in a Lie nilpotent associative algebra // Journal of Algebra. 2017. Vol. 469. P. 84–95. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2016.08.031

13. Латышев В.Н. О выборе базы в одном T-идеале // Сибирский математический журнал. 1963. Т. 4, № 5. С. 1122–1127.

14. Gupta C.K., Krasil'nikov A.N. A solution of a problem of Plotkin and Vovsi and an application to varieties of groups // Journal of the Australian Mathematical Society (Series A). 1999. Vol. 67, iss. 3. P. 329–355. DOI: 10.1017/S1446788700002056

15. Giambruno A., Koshlukov P. On the identities of the Grassmann algebra in characteristic p>0 // Israel Journal of Mathematics. 2001. Vol. 122, iss. 1. P. 305–316. DOI: 10.1007/BF02809905

16. Воличенко И.Б. Т-идеал, порожденный элементом [X1, X2, X3, X4] // Минск: Ин-т матем. АН БССР, 1978. 13 с. (Препринт № 22).

17. Гордиенко А.С. Коразмерности коммутатора длины 4 // Успехи математических наук. 2007. Т. 62, вып. 1. С. 191–192. DOI: 10.4213/rm5696

18. Etingof P., Kim J., Ma X. On universal Lie nilpotent associative algebras // Journal of Algebra. 2009. Vol. 321. P. 697–703. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2008.09.042

19. Krasilnikov A. The additive group of a Lie nilpotent associative ring // Journal of Algebra. 2013. Vol. 392. P.10–22. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2013.06.021

20. da Costa E.A., Krasilnikov A. Relations in universal Lie nilpotent associative algebras of class 4 // arXiv:1306.4294 [math.RA].


Для цитирования:


Дерябина Г.С. О соотношениях в универсальных лиевски нильпотентных ассоциативных алгебрах класса 3. Математика и математическое моделирование. 2016;(6):15-29. https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855437

For citation:


Deryabina G.S. On Relations in the Universal Lie Nilpotent Associative Algebras of Class 3. Mathematics and Mathematical Modeling. 2016;(6):15-29. (In Russ.) https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855437

Просмотров: 158


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)