Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Лапласиан Леви на четырехмерном римановом многообразии

https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855417

Полный текст:

Аннотация

Известно, что уравнения Янга-Миллса для связности эквивалентны уравнению Лапласа-Леви для параллельного переноса, соответствующего этой связности (см. работу Л. Аккарди, П. Джибилиско и И. В. Воловича [4]). Уравнение Лапласа-Леви – это уравнение Лапласа для Лапласиана Леви, который можно определить как среднее Чезаро вторых производных вдоль векторов из ортонормированного базиса некоторого гильбертова пространства. В работе автора [11] для случая четырехмерного евклидова пространства было доказано, что при определенном выборе ортонормированного базиса, уравнение Лапласа-Леви для параллельного переноса становится эквивалентным уравнениям автодуальности для связности. Связность, являющаяся решением уравнений автодуальности, называется инстантоном и является решением уравнений Янга-Миллса. В настоящей работе мы определяем лапласиан Леви для случая четырехмерного риманова многообразия. Такой оператор является обобщением, как и лапласиана Леви, введенного автором в [11], так и лапласиана Леви, введенного Л. Аккарди и О. Г. Смоляновым в [3] для риманова многообразия. В настоящей работе рассматривается случай линейного расслоения над четырехмерным римановым многообразием и уравнений Максвелла (коммутативного случая уравнений Янга-Миллса). Мы находим условия, при которых из того, что параллельный перенос гармонический функционал для введенного лапласиана Леви, следует, что соответствующая связность является решением уравнений автодуальности. Кроме того, в работе рассматривается связь введенного лапласиана Леви и оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии. Можно ожидать, что результаты работы можно обобщить на некоммутативный случай полей Янга-Миллса.

Об авторе

Б. О. Волков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва; Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва
Россия
SPIN-код 6676-7412


Список литературы

1. Леви П., Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967. 512 c .

2. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Операторы Лапласа–Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах // Математические заметки. 2002. Т. 72, № 1, C. 145-150

3. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений с лапласианом Леви на бесконечномерных многообразиях // Доклады Академии наук. 2006. T. 407, № 5, C. 1-6.

4. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russian Journal of Mathematical Physics. 1994. Vol. 2, № 2, Pp. 235-250

5. Driver B. Classifications of Bundle Connection Pairs by Parallel Translation and Lassos // Journal of functional analysis. 1989. Vol. 83, P. 185-231. DOI: 10.1016/0022-1236(89)90035-9

6. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, № 2, P. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

7. Feller M.N. The Levy Laplacian. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005, 160 p. (Ser. Cambridge Tracts in Math.; vol. 166).

8. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol. 15, № 4. Art. no. 1250027. DOI: 10.1142/S0219025712500270

9. Волков Б.О. Лапласианы Леви и связанные с ними конструкции: дис. канд. физ.-мат. наук. М., 2014. 94 с.

10. Волков Б.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2015. Т. 19, № 2, C. 241–258. DOI: 10.14498/vsgtu1372

11. Волков Б.О. Лапласианы Леви и инстантоны // Труды МИАН. 2015. T. 290. C. 226–238.


Для цитирования:


Волков Б.О. Лапласиан Леви на четырехмерном римановом многообразии. Математика и математическое моделирование. 2016;(6):1-14. https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855417

For citation:


Volkov B.O. Levy Laplacian on a Four-Dimensional Riemannian Manifold. Mathematics and Mathematical Modeling. 2016;(6):1-14. (In Russ.) https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855417

Просмотров: 201


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)