Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Вариационный подход к анализу модели теплового взрыва в твердом теле

https://doi.org/10.7463/mathm.0516.0847523

Полный текст:

Аннотация

Температурное состояние твердого тела может зависеть как от условий теплообмена с окружающей его поверхность внешней средой, так и от выделения энергии в объеме этого тела, вызванного, например, протеканием процессов в элементах ядерного реактора или экзотермических химических реакций, при поглощением энергии проникающего излучения или переходом в теплоту части электрической энергии при прохождении электрического тока (так называемая джоулева теплота). Если интенсивность объемного энерговыделения возрастает с увеличением температуры, то возможно возникновение предельного установившегося температурного состояния, при котором отвод к поверхности тела выделившейся в его объеме тепловой энергии достигает максимума. При этом малые приращения температуры приводят к увеличению выделения тепловой энергии, которую уже нельзя отвести к поверхности тела путем теплопроводности без дальнейшего возрастания температуры. В итоге установившееся распределение температуры в теле становится невозможным, что и определяет состояние теплового взрыва, получившее такое название в силу того, что соответствующая математическая модель предсказывает в этом случае неограниченное возрастание температуры.

Анализу состояния теплового взрыва посвящено достаточно много работ, связанных с исследованием процессов горения и взрыва в неподвижной среде и проанализированных в монографиях. В большинстве известных работ рассматривают математическую модель, описывающую распределение температуры в случае, когда энерговыделение вызвано экзотермическими химическими реакциями, скорость протекания которых возрастает с увеличением температуры. Зависимость скорости химической реакции от температуры обычно описывают экспоненциальным законом Аррениуса, что приводит к необходимости рассматривать существенно нелинейную математическую модель, содержащую дифференциальное уравнение, в которое входит слагаемое, нелинейно возрастающее с ростом температуры. Даже при упрощающих допущениях эта модель позволяет получить точное решение в аналитическом виде лишь в случае одномерных распределений температуры в двух областях канонической формы: в неограниченной в свой плоскости пластине и в неограниченном по длине круговом цилиндре.

Приближенным численным решением дифференциального уравнения, входящего в нелинейную математическую модель теплового взрыва, удается получить количественные оценки сочетания определяющих параметров, при котором наступает предельное состояние в областях не только канонической формы. Возможности исследования состояния теплового взрыва можно расширить в связи с развитием методов математического моделирования, в том числе методов анализа моделей, описывающих температурное состояние твердых тел.

В данной работе для анализа математической модели теплового взрыва в однородном твердом теле использован вариационный подход, основанный на двойственной вариационной формулировке соответствующей нелинейной задачи стационарной теплопроводности в таком теле. Эта формулировка содержит два альтернативных функционала, достигающих совпадающих значений в своих стационарных точках, соответствующих истинным распределениям температуры. Такое свойство функционалов позволяет не только получить приближенную количественную оценку сочетания параметров, определяющих состояние теплового взрыва, но и установить возможную наибольшую погрешность такой оценки.

Об авторах

В. С. Зарубин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия


Г. Н. Кувыркин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия


И. Ю. Савельева
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия


Список литературы

1. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике: 3-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1987. 502 с.

2. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Температурное состояние диска униполярного генератора // Инженерно-физический журнал. 2014. Т. 87, № 4. С. 796-801.

3. Зарубин В.С., Котович А.В., Кувыркин Г.Н. Устойчивость температурного состояния диска униполярного генератора // Известия РАН. Энергетика. 2016. № 1. С. 127-133.

4. Физика взрыва / Под ред. Орленко Л.П.: 3-е изд., перераб. В 2 т. Т. 1. М.: Физматлит, 2002. 832 с.

5. Зарубин В.С. Моделирование. М.: Издательский центр «Академия», 2013. 336 с.

6. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Особенности математического моделирования технических устройств // Математическое моделирование и численные методы. 2014. № 1(1). С. 5-17. DOI: 10.18698/2309-3684-2014-1-517

7. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 480 с.

8. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математическое моделирование термомеханических процессов при интенсивном тепловом воздействии // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41, № 2. С. 300 -309.

9. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

10. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (2-е изд., стереотипное). М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 700 с.

11. Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика: 2-е изд., испр. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 272 с.

12. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

13. Аттетков А.В., Зарубин В.С., Канатников А.Н. Введение в методы оптимизации. М.: Финансы и статистика, ИНФРА-М, 2008. 272 с.

14. Аттетков А.В., Зарубин В.С., Канатников А.Н. Методы оптимизации. М.: Издательский центр РИОР, 2012. 270 с.

15. Parks J.R. Criticality Criteria for Various Configurations of a Self-Heating Chemical as Functions of Activation Energy and Temperature of Assembly. J. Chem. Phys. 1961. Vol. 34. № 1. Pp. 46-50. DOI: 10.1016/0022-247X(81)90213-4


Для цитирования:


Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Вариационный подход к анализу модели теплового взрыва в твердом теле. Математика и математическое моделирование. 2016;(5):29-45. https://doi.org/10.7463/mathm.0516.0847523

For citation:


Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Y. mathematical model of thermal explosion, the dual variational formulation of nonlinear problem, alternative functional. Mathematics and Mathematical Modeling. 2016;(5):29-45. (In Russ.) https://doi.org/10.7463/mathm.0516.0847523

Просмотров: 255


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)