Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

К задаче о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости

https://doi.org/10.7463/mathm.0216.0843737

Полный текст:

Аннотация

В статье решается краевая задача с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, которое является уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа. Уравнения смешанного типа применяются в трансзвуковой газодинамике. Ограниченное решение задачи ищется в полуплоскости, состоящей из верхней полуплоскости (в которой уравнение эллиптично) и примыкающей к ней полосы (в которой уравнение гиперболично). На границе области задается наклонная производная в направлении одной из характеристик. На границе верхней полуплоскости, которая является линией изменения типа уравнения, задаются условия сопряжения четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представляется по формуле Даламбера, а в верхней полуплоскости, где уравнение эллиптично, ограниченное решение представляется интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сводится к краевой задаче Римана для голоморфных функций. Решение этой задачи получено в явном виде. Таким образом, решение задачи с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе получено в явном виде для случая полуплоскости с точностью до постоянного слагаемого. В конце статьи приводится пример решения задачи, подтверждающий теоретические выкладки.

Об авторах

О. Д. Алгазин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия
кафедра «Вычислительная математика и математическая физика»


А. В. Копаев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия
кафедра «Высшая математика»


Список литературы

1. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1953. Т.41. С. 3-59.

2. Сабитов К.Б., Новикова В.А. Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Известия вузов. Математика. 2016. № 6. С. 61-72.

3. Moiseev E.I., Moiseev T.E., Vafodorova G.O. On an Integral Representation of the Neumann-Tricomi Problem for the Lavrent'ev-Bitsadze Equation // Differential Equations. 2015. Vol. 51. No. 8, pp. 1065-1071. DOI: 0.1134/S0012266115080108

4. Солдатов А.П. О задачах типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Дифференциальные уравнения и динамические системы. Сборник статей // Тр. МИАН. 2012. Т. 278. С. 242-249.

5. Сабитов К.Б., Хаджи И.А. Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью // Известия вузов. Математика. 2011. № 5. С. 44-52.

6. Сербина Л.И. Решение одной начально-краевой задачи теории фильтрации с нелокальными краевыми условиями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2003. Вып. 19. С.16-21. DOI: 10.14498/vsgtu133

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 с.


Для цитирования:


Алгазин О.Д., Копаев А.В. К задаче о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости. Математика и математическое моделирование. 2016;(2):1-8. https://doi.org/10.7463/mathm.0216.0843737

For citation:


Algazin O.D., Kopaev A.V. Towards the Oblique Derivative Problem for the Lavrentyev – Bitsadze Equation in the Half-Plane. Mathematics and Mathematical Modeling. 2016;(2):1-8. (In Russ.) https://doi.org/10.7463/mathm.0216.0843737

Просмотров: 208


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)