Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2015; : 1-16

Стохастическая дивергенция Леви и уравнения Максвелла

Волков Б. О.

Аннотация

В работе доказано, что значение функционала действия полей Максвелла на связности (векторе- потенциале) совпадает со значением бесконечномерного аналога функционала Дирихле для киральных полей, полученного с помощью чезаровского усреднения, на соответствующей связности стохастическом параллельном переносе. Кроме того, в статье по аналогии с лапласианом Леви вводится стохастическая дивергенция Леви и доказывается, что связность является решением уравнений Максвелла тогда и только тогда, когда соответствующий стохастический параллельный перенос является решением уравнения, содержащего такую дивергенцию и являющегося бесконечномерным аналогом уравнения движения кирального поля.

DOI: 10.7463/mathm.0515.0820322

Список литературы

1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. II. Дифференциальные операторы и их преобразования Фурье // Труды Моск. Мат. Общества. 1972. Т. 27. С. 249-262

2. Аккарди Л., Смолянов О. Г. Операторы Лапласа-Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах // Математические заметки. 2002. Т. 72, № 1, C. 145-150

3. Арефьева И.Я., Волович И.В. Функциональные высшие законы сохранения в калибровочных теориях // Обобщенные функции и их применения в математической физике. Тр. Междунар. конф., ВЦ АН СССР, М., 1981. С. 43-49

4. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997. 352 c.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения, 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1986, 760 с.

6. Accardi L., Bogachev V.I., The Ornstein-Uhnlenbeck process associated with the Levy-Laplacian and its Dirihlet form // Probability and Mathematical Statistics. 1997. Vol. 17, pp. 95-114.

7. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russ. J. Math. Phys. 1994. Vol. 2, № 2, pp. 235-250.

8. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. The Levy Laplacian and the Yang-Mills equations // Rendiconti Lincei. 1993. Vol. 4, № 3, pp. 201-206. DOI:10.1007/BF03001574

9. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, no. 2, pp. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

10. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2006, xiv+382 p.

11. Polyakov A.M. Gauge fields as rings of glue // Nuclear Physics B. 1980.Vol. 164, pp.171-188. DOI:10.1016/0550-3213(80)90507-6

12. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol. 15, № 4, 1250027-1/19. DOI: 10.1142/S0219025713500276

13. Волков Б.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 19, № 2, C. 241-258.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 1-16

Stochastic Levy Divergence and Maxwell's Equations

Volkov B. O.

Abstract

One of the main reasons for interest in the Levy Laplacian and its analogues such as Levy d'Alembertian is a connection of these operators with gauge fields. The theorem proved by Accardi, Gibillisco and Volovich stated that a connection in a bundle over a Euclidean space or over a Minkowski space is a solution of the Yang-Mills equations if and only if the corresponding parallel transport to the connection is a solution of the Laplace equation for the Levy Laplacian or of the d'Alembert equation for the Levy d'Alembertian respectively (see [5, 6]). There are two approaches to define Levy type operators, both of which date back to the original works of Levy [7]. The first is that the Levy Laplacian (or Levy d'Alembertian) is defined as an integral functional generated by a special form of the second derivative. This approach is used in the works [5, 6], as well as in the paper [8] of Leandre and Volovich, where stochastic Levy-Laplacian is discussed. Another approach to the Levy Laplacian is defining it as the Cesaro mean of second order derivatives along the family of vectors, which is an orthonormal basis in the Hilbert space. This definition of the Levy Laplacian is used for the description of solutions of the Yang-Mills equations in the paper [10].

The present work shows that the definitions of the Levy Laplacian and the Levy d'Alembertian based on Cesaro averaging of the second order directional derivatives can be transferred to the stochastic case. In the article the values of these operators on a stochastic parallel transport associated with a connection (vector potential) are found. In this case, unlike the deterministic case and the stochastic case of Levy Laplacian from [8], these values are not equal to zero if the vector potential corresponding to the stochastic parallel transport is a solution of the Maxwell's equations. As a result, two approaches to definition of the Levy Laplacian in the stochastic case give different operators. This situation is different from the flat deterministic case, which is discussed in [11]. It can be expected that the work can be summarized in the non-commutative case of the Yang-Mills theory

DOI: 10.7463/mathm.0515.0820322

References

1. Averbukh V.I., Smolyanov O.G., Fomin S.V. Obobshchennye funktsii i differentsial'nye uravneniya v lineinykh prostranstvakh. II. Differentsial'nye operatory i ikh preobrazovaniya Fur'e // Trudy Mosk. Mat. Obshchestva. 1972. T. 27. S. 249-262

2. Akkardi L., Smolyanov O. G. Operatory Laplasa-Levi v prostranstvakh funktsii na osnashchennykh gil'bertovykh prostranstvakh // Matematicheskie zametki. 2002. T. 72, № 1, C. 145-150

3. Aref'eva I.Ya., Volovich I.V. Funktsional'nye vysshie zakony sokhraneniya v kalibrovochnykh teoriyakh // Obobshchennye funktsii i ikh primeneniya v matematicheskoi fizike. Tr. Mezhdunar. konf., VTs AN SSSR, M., 1981. S. 43-49

4. Bogachev V.I. Gaussovskie mery. M.: Nauka, 1997. 352 c.

5. Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Sovremennaya geometriya: Metody i prilozheniya, 2-e izd., pererab. M.: Nauka, 1986, 760 s.

6. Accardi L., Bogachev V.I., The Ornstein-Uhnlenbeck process associated with the Levy-Laplacian and its Dirihlet form // Probability and Mathematical Statistics. 1997. Vol. 17, pp. 95-114.

7. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russ. J. Math. Phys. 1994. Vol. 2, № 2, pp. 235-250.

8. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. The Levy Laplacian and the Yang-Mills equations // Rendiconti Lincei. 1993. Vol. 4, № 3, pp. 201-206. DOI:10.1007/BF03001574

9. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, no. 2, pp. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

10. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2006, xiv+382 p.

11. Polyakov A.M. Gauge fields as rings of glue // Nuclear Physics B. 1980.Vol. 164, pp.171-188. DOI:10.1016/0550-3213(80)90507-6

12. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol. 15, № 4, 1250027-1/19. DOI: 10.1142/S0219025713500276

13. Volkov B.O. Dalambertiany Levi i ikh primenenie v kvantovoi teorii // Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki. 2015. T. 19, № 2, C. 241-258.