Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2021; : 46-61

Математическое моделирование эллиптического вихревого кольца в вязкой жидкости методом вихревых петель

Коцур О. С.

https://doi.org/10.24108/mathm.0321.0000263

Аннотация

В статье рассматривается задача о моделировании эллиптического вихревого кольца в вязкой жидкости с применением лагранжевого метода вихревых петель. Новизна работы в том, что ранее применение метода вихревых петель было ограничено лишь невязкими течениями. Предлагаемая модель вязкости основана на применении аналога метода диффузионной скорости, широко применяемого для моделирования плоскопараллельных и осесимметричных течений вязкой жидкости. Перенос формулы диффузионной скорости с двухмерных течений на модель пространственных вихревых петель связан с допущением об отсутствии закрутки вихревых линий (спиральности завихренности). Несмотря на нестрогость модели диффузионной скорости для общих пространственных течений, ее применение позволит учесть эффект вязкой диффузии завихренности, который заключается в расширении вихревых трубок в пространстве. В работе приведена постановка метода вихревых петель, в котором петли разбиваются на вихревые отрезки. Такая дискретизация позволяет перейти от уравнения эволюции завихренности в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно параметров отрезков. Приведены формулы для вычисления скорости течения, индуцируемой системой петель, а также формулы для приближенного вычисления аналога диффузионной скорости.

Целью работы является применение предлагаемой модели вязкости для метода вихревых петель на примере моделирования эволюции эллиптического вихревого кольца в вязкой жидкости. Результаты расчета вихревым методом сравниваются с существующим экспериментом и с расчетом сеточным методом в пакете OpenFOAM. Особенность задачи состоит в наличии зон ненулевой спиральности завихренности, в которых предлагаемая модель вязкости, строго говоря, не является корректной. Показано, что результаты расчетов хорошо совпадают между собой и полностью согласуются с экспериментом. Это позволяет говорить о том, что эффекты закрутки вихревых линий не оказывают существенного влияния на результаты моделирования конкретного примера пространственного течения вязкой жидкости предлагаемой модификацией метода вихревых петель.

Список литературы

1. Cottet G.-H., Koumoutsakos P.D. Vortex methods: theory and practice. Camb.: Camb. Univ. Press, 2000. 313 p.

2. Moukalled F., Mangani L., Darwish M. The finite volume method in computational fluid dynamics: An advanced introduction with OpenFOAM and Matlab. Cham: Springer, 2016. 791 p. DOI: 10.1007/978-3-319-16874-6

3. Tuković Ž., Karač A., Cardiff P., Jasak H., Ivanković A. OpenFOAM finite volume solver for fluid-solid interaction // Trans. of FAMENA. 2018. Vol. 42. No. 3. Pp. 1–31. DOI: 10.21278/TOF.42301

4. Dergachev S.A., Marchevsky I.K., Shcheglov G.A. Flow simulation around 3D bodies by using Lagrangian vortex loops method with boundary condition satisfaction with respect to tangential velocity components // Aerospace Science and Technology. 2019. Vol. 94. Article 105374. DOI: 10.1016/j.ast.2019.105374

5. Марков В.В., Сизых Г.Б. Эволюция завихренности в жидкости и газе // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2015. № 2. С. 8–15.

6. Dynnikov Ya.A., Dynnikova G.Ya. Application of viscous vortex domains method for solving flow-structure problems // Multibody dynamics 2013: ECCOMAS thematic conf. on multibody dynamics (Zagreb, Croatia, July 1-4, 2013): Proc. Zagreb: Univ. of Zagreb, 2013. Pp. 877–882. DOI: 10.13140/2.1.2113.1207

7. Коцур О.С. О существовании локальных способов вычисления скорости переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности // Тр. МФТИ. 2019. Т. 11. № 1. С. 76–85.

8. OpenFOAM: сайт. Режим доступа: http://openfoam.com (дата обращения 15.04.2021).

9. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей: пер. с англ. М.: Науч. мир, 2000. 375 с. [Saffman P.G. Vortex dynamics. Camb.: Camb. Univ. Press, 1992. 311 p.].

10. Wu J.-Z., Ma H.-Y., Zhou M.-D. Vorticity and vortex dynamics. B.: Springer, 2006. 776 p.

11. Winckelmans G.S. Vortex methods // Encyclopedia of computational mechanics: in 6 vols. 2nd ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2017. Vol. 5: Fluids – Pt. 1. Ch. 10. Pp. 415–439.

12. Kotsur O.S., Shcheglov G.A. Viscous fluid simulation with the vortex element method // 31st Congress of the Intern. Council of the Aeronautical Sciences: ICAS 2018 (Belo Horizonte, Brazil, September 9-14, 2018). 10 p. Режим доступа: https://www.icas.org/ICAS_ARCHIVE/ICAS2018/data/papers/ICAS2018_0718_paper.pdf (дата обращения: 15.04.2021).

13. Adhikari D. Some experimental studies on vortex ring formation and interaction: diss. … National Univ. of Singapore, 2009. 188 p.

14. Cheng M., Lou J., Lim T.T. Evolution of an elliptic vortex ring in a viscous fluid // Physics of Fluids. 2016. Vol. 28. No. 3. Article 037104. DOI: 10.1063/1.4944059

15. Hussain F., Husain H.S. Elliptic jets. Part 1. Characteristics of unexcited and excited jets // J. of Fluid Mechanics. 1989. Vol. 208. Pp. 257-320. DOI: 10.1017/S0022112089002843

Mathematics and Mathematical Modeling. 2021; : 46-61

Mathematical Modelling of the Elliptical Vortex Ring in a Viscous Fluid with the Vortex Filament Method

Kotsur O. S.

https://doi.org/10.24108/mathm.0321.0000263

Abstract

The article deals with modelling an elliptical vortex ring in a viscous fluid using the Lagrangian vortex filament method. The novelty is that earlier only inviscid flows restricted vortex filament method application. The proposed viscosity model uses an analogue of the diffusion rate method, which is widely applied to simulate plane-parallel and axisymmetric flows of viscous fluid. A transfer of the formula of a diffusion rate from two-dimensional flows to the model of spatial vortex filament is due to assumption that swirling of vortex lines (helicity of vorticity) is unavailable. Despite the laxity of the diffusion rate model for general spatial flows, its application enables taking into account the effect of viscous diffusion of vorticity, which provides expansion of vortex tubes in space. The paper formulates the vortex filament method in which the filaments are broken into the vortex segments. Such discretization enables turning from the equation of vorticity evolution in partial derivatives to a system of ordinary differential equations with respect to the parameters of the segments. Formulas to calculate a filament system-induced flow rate as well as formulas to perform approximate calculation of an analogue of the diffusion rate are given.

The objective is to propose the viscosity model as an application to the vortex filament method by the example of modelling the evolution of an elliptical vortex ring in viscous fluid. The calculation results obtained by the vortex method are compared with the existing experiment and with the calculation performed by the grid method in the OpenFOAM package. A feature of the problem is that there are zones of nonzero helicity of vorticity where the proposed model of viscosity, strictly speaking, is not correct. It is shown that the results of calculations are in good agreement with each other and are in complete agreement with experiment. This allows saying that the effects of swirling vortex lines do not significantly affect the results of modelling a specific example of the spatial flow of viscous fluid by the proposed modification of the vortex filament method.

References

1. Cottet G.-H., Koumoutsakos P.D. Vortex methods: theory and practice. Camb.: Camb. Univ. Press, 2000. 313 p.

2. Moukalled F., Mangani L., Darwish M. The finite volume method in computational fluid dynamics: An advanced introduction with OpenFOAM and Matlab. Cham: Springer, 2016. 791 p. DOI: 10.1007/978-3-319-16874-6

3. Tuković Ž., Karač A., Cardiff P., Jasak H., Ivanković A. OpenFOAM finite volume solver for fluid-solid interaction // Trans. of FAMENA. 2018. Vol. 42. No. 3. Pp. 1–31. DOI: 10.21278/TOF.42301

4. Dergachev S.A., Marchevsky I.K., Shcheglov G.A. Flow simulation around 3D bodies by using Lagrangian vortex loops method with boundary condition satisfaction with respect to tangential velocity components // Aerospace Science and Technology. 2019. Vol. 94. Article 105374. DOI: 10.1016/j.ast.2019.105374

5. Markov V.V., Sizykh G.B. Evolyutsiya zavikhrennosti v zhidkosti i gaze // Izv. RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza. 2015. № 2. S. 8–15.

6. Dynnikov Ya.A., Dynnikova G.Ya. Application of viscous vortex domains method for solving flow-structure problems // Multibody dynamics 2013: ECCOMAS thematic conf. on multibody dynamics (Zagreb, Croatia, July 1-4, 2013): Proc. Zagreb: Univ. of Zagreb, 2013. Pp. 877–882. DOI: 10.13140/2.1.2113.1207

7. Kotsur O.S. O sushchestvovanii lokal'nykh sposobov vychisleniya skorosti perenosa vikhrevykh trubok s sokhraneniem ikh intensivnosti // Tr. MFTI. 2019. T. 11. № 1. S. 76–85.

8. OpenFOAM: saĭt. Rezhim dostupa: http://openfoam.com (data obrashcheniya 15.04.2021).

9. Seffmen F.Dzh. Dinamika vikhreĭ: per. s angl. M.: Nauch. mir, 2000. 375 s. [Saffman P.G. Vortex dynamics. Camb.: Camb. Univ. Press, 1992. 311 p.].

10. Wu J.-Z., Ma H.-Y., Zhou M.-D. Vorticity and vortex dynamics. B.: Springer, 2006. 776 p.

11. Winckelmans G.S. Vortex methods // Encyclopedia of computational mechanics: in 6 vols. 2nd ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2017. Vol. 5: Fluids – Pt. 1. Ch. 10. Pp. 415–439.

12. Kotsur O.S., Shcheglov G.A. Viscous fluid simulation with the vortex element method // 31st Congress of the Intern. Council of the Aeronautical Sciences: ICAS 2018 (Belo Horizonte, Brazil, September 9-14, 2018). 10 p. Rezhim dostupa: https://www.icas.org/ICAS_ARCHIVE/ICAS2018/data/papers/ICAS2018_0718_paper.pdf (data obrashcheniya: 15.04.2021).

13. Adhikari D. Some experimental studies on vortex ring formation and interaction: diss. … National Univ. of Singapore, 2009. 188 p.

14. Cheng M., Lou J., Lim T.T. Evolution of an elliptic vortex ring in a viscous fluid // Physics of Fluids. 2016. Vol. 28. No. 3. Article 037104. DOI: 10.1063/1.4944059

15. Hussain F., Husain H.S. Elliptic jets. Part 1. Characteristics of unexcited and excited jets // J. of Fluid Mechanics. 1989. Vol. 208. Pp. 257-320. DOI: 10.1017/S0022112089002843