Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Функциональный метод локализации и принцип инвариантности Ла-Салля

https://doi.org/10.24108/mathm.0121.0000256

Полный текст:

Аннотация

В задачах качественного анализа динамических систем хорошо зарекомендовал себя функциональный метод локализации. Предложенный в 90-хх гг., он активно использовался в исследовании ряда известных систем дифференциальных уравнений, как автономных, так и неавтономных, дискретных систем, в том числе систем включающих управление и/или возмущения.

Суть метода состоит в построении такого множества в фазовом пространстве динамической системы, которое содержит все инвариантные компактные множества. Понятие инвариантного компактного множества включает положения равновесия, предельные циклы, аттракторы, репеллеры и другие структуры в фазовом пространстве системы, играющие важную роль в описании поведения динамической системы. Построенное множество называют локализирующим. Оно служит внешней оценкой соответствующих структур в фазовом пространстве.

Относительно недавно было установлено, что функциональный метод локализации позволяет анализировать поведение траекторий динамической системы. В частности, с помощью метода локализации можно проверять устойчивость положений равновесия.

Здесь естественным образом возникает вопрос о связи функционального метода локализации с известным принципом инвариантности Ла-Салля, который можно рассматривать как дальнейшее развитие метода функций Ляпунова для установления устойчивости. Настоящая статья посвящена обсуждению этого вопроса.

Об авторах

А. Н. Канатников
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Канатников Анатолий Николаевич

Кафедра математического моделирования, профессор



А. П. Крищенко
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Крищенко Александр Петрович

заведующий кафедрой математического моделирования



Список литературы

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 231 с.

2. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 12. C. 1597–1604.

3. Крищенко А.П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 11. С. 1858–1865.

4. Крищенко А.П., Шальнева С.С. Задача локализации для автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 11. С. 1495–1500.

5. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of nonlinear systems with applications to the Lanford system // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2006. Vol. 16. No. 11. Pp. 3249–3256. DOI: 10.1142/S0218127406016768

6. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of the Lorenz system // Physics Letters A. 2006. Vol. 353. No. 5. Pp. 383–388. DOI: 10.1016/j.physleta.2005.12.104

7. Starkov K.E. Universal localizing bounds for compact invariant sets of natural polynomial Hamiltonian systems // Physics Letters A. 2008. Vol 372. No. 41. Pp. 6269–6272. DOI: 10.1016/j.physleta.2008.07.073

8. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets on nonlinear time-varying systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering in Applied Sciences and Engineering. 2008. Vol. 18. No. 5. Pp. 1599-1604. DOI: 10.1142/S021812740802121X

9. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов неавтономных систем // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 1. С. 47–53.

10. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем // Доклады Академии наук. 2010. Т. 431. № 3. С. 323–325.

11. Канатников А.Н. Локализация инвариантных компактов в неопределенных дискретных системах // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 7. С. 987–992.

12. Канатников А.Н. Локализирующие множества для инвариантных компактов непрерывных динамических систем с возмущением // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48. № 11. С. 1483–1492.

13. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Локализирующие множества и поведение траекторий // Доклады Академии наук. 2016. Т. 470. № 2. С. 133–136. DOI: 10.7868/S0869565216260042

14. Канатников А.Н. Локализирующие множества и поведение траекторий неавтономных систем // Дифференциальные уравнения. 2019. Т. 55. № 11. С. 1465–1475. DOI: 10.1134/S0374064119110037

15. Крищенко А.П. Анализ асимптотической устойчивости автономных систем методом локализации инвариантных компактов // Доклады Академии наук. 2016. Т. 469. № 1. С. 17–20. DOI: 10.7868/S086956521619004X

16. Крищенко А.П. Построение функций Ляпунова методом локализации инвариантных компактов // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53. № 11. С. 1447–1452. DOI: 10.1134/S0374064117110036

17. Канатников А.Н. Устойчивость положений равновесия дискретных систем и локализация инвариантных компактов // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54. № 11. С. 1440–1444. DOI: 10.1134/S037406411811002X

18. Халил Х.К. Нелинейные системы: пер. с англ. 3-е изд. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютер. исслед., 2009. 812 с. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p.].


Для цитирования:


Канатников А.Н., Крищенко А.П. Функциональный метод локализации и принцип инвариантности Ла-Салля. Математика и математическое моделирование. 2021;(1):1-12. https://doi.org/10.24108/mathm.0121.0000256

For citation:


Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Functional Method of Localization and LaSalle Invariance Principle. Mathematics and Mathematical Modeling. 2021;(1):1-12. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0121.0000256

Просмотров: 75


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)