Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2015; : 41-53

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое

Алгазин О. Д., Копаев А. В.

Аннотация

В работе методом преобразования Фурье решается краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона в области, ограниченной двумя параллельными гиперплоскостями в R^n. Решение представлено в виде суммы интегралов, ядра которых найдены в конечном виде. В частности построена функция Грина оператора Лапласа для задачи Дирихле, через которую записывается решение задачи. В случае если заданные граничные значения являются обобщенными функциями медленного роста, решение задачи Дирихле для однородного уравнения (Лапласа) записывается в виде свертки ядер с этими функциями.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943

Список литературы

1. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.576 с.

2. Комеч А.И. Линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. 1988. т. 31. с.127-261.

3. Касьянов Е.Ю.,Копаев А.В. О решении задачи Дирихле для некоторых многомерных областей методом воспроизводящих ядер // Известия вузов. Математика.1991. №6. с.17-20.

4. Алгазин О.Д.,Копаев А.В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. «Естественные науки». 2015. №1. с.3-13.

5. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

6. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. М.: Физматгиз, 1962. 360 с.

7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

8. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

9. Градштейн И.С.,Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.:Наука, 1971. 1108 с.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 41-53

Solution of the Dirichlet Problem for the Poisson's Equation in a Multidimensional Infinite Layer

Algazin O. D., Kopaev A. V.

Abstract

The paper considers the multidimensional Poisson equation in the domain bounded by two parallel hyperplanes (in the multidimensional infinite layer). For an n-dimensional half-space method of solving boundary value problems for linear partial differential equations with constant coefficients is a Fourier transform to the variables in the boundary hyperplane. The same method can be used for an infinite layer, as is done in this paper in the case of the Dirichlet problem for the Poisson equation. For strip and infinite layer in three-dimensional space the solutions of this problem are known. And in the three-dimensional case Green's function is written as an infinite series. In this paper, the solution is obtained in the integral form and kernels of integrals are expressed in a finite form in terms of elementary functions and Bessel functions. A recurrence relation between the kernels of integrals for n-dimensional and (n + 2) -dimensional layers was obtained. In particular, is built the Green's function of the Laplace operator for the Dirichlet problem, through which the solution of the problem is recorded. Even in three-dimensional case we obtained new formula compared to the known. It is shown that the kernel of the integral representation of the solution of the Dirichlet problem for a homogeneous Poisson equation (Laplace equation) is an approximate identity (δ-shaped system of functions). Therefore, if the boundary values are generalized functions of slow growth, the solution of the Dirichlet problem for the homogeneous equation (Laplace) is written as a convolution of kernels with these functions.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943

References

1. Polyanin A.D. Spravochnik po lineinym uravneniyam matematicheskoi fiziki. M.: Fizmatlit, 2001.576 s.

2. Komech A.I. Lineinye uravneniya v chastnykh proizvodnykh s postoyannymi koeffitsientami // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Sovremennye problemy matematiki: Fundamental'nye napravleniya. 1988. t. 31. s.127-261.

3. Kas'yanov E.Yu.,Kopaev A.V. O reshenii zadachi Dirikhle dlya nekotorykh mnogomernykh oblastei metodom vosproizvodyashchikh yader // Izvestiya vuzov. Matematika.1991. №6. s.17-20.

4. Algazin O.D.,Kopaev A.V. Reshenie smeshannoi kraevoi zadachi dlya uravneniya Laplasa v mnogomernom beskonechnom sloe // Vestnik MGTU im. N.E.Baumana. Ser. «Estestvennye nauki». 2015. №1. s.3-13.

5. Vladimirov V.S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike. M.: Nauka, 1979. 320 s.

6. Bokhner S. Lektsii ob integralakh Fur'e. M.: Fizmatgiz, 1962. 360 s.

7. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoi fiziki. M.: Izd-vo MGU, 1999. 798 s.

8. Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Integral'nye preobrazovaniya i operatsionnoe ischislenie. M.: Fizmatgiz, 1961. 524 s.

9. Gradshtein I.S.,Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedenii. M.:Nauka, 1971. 1108 s.