Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в полубесконечном слое

https://doi.org/10.24108/mathm.0520.0000229

Полный текст:

Аннотация

Для полубесконечного слоя дано решение смешанных краевых задач Дирихле — Неймана и Дирихле — Неймана — Робена для уравнения Лапласа, использующее полученное ранее решение смешанной краевой задачи Дирихле — Неймана для слоя.

Функции в правых частях граничных условий считаются функциями медленного роста, в частности, полиномами. Решение краевых задач также ищется в классе функций медленного роста. Продолжая функции в правых частях граничных условий на верхней и нижней сторонах полубесконечного слоя с полугиперплоскости на всю гиперплоскость, получаем задачу Дирихле — Неймана для слоя, решение которой известно и записывается в виде свертки. В случае если правые части граничных условий являются полиномами, то и решение является полиномом. К полученному решению нужно прибавить решение задачи для полубесконечного слоя с однородными граничными условиями на верхней и нижней сторонах и с неоднородным граничным условием Дирихле, Неймана или Робена на боковой стороне. Это решение записывается в виде ряда. Если взять конечный отрезок ряда, то получим решение, точно удовлетворяющее уравнению Лапласа и граничным условиям на верхней и нижней сторонах полубесконечного слоя и приближенно удовлетворяющее граничному условию на боковой стороне.

Рассмотрен пример решения задач Дирихле — Неймана и Дирихле — Неймана —Робена, описывающий температурное поле полубесконечной пластины, верхняя сторона, которой теплоизолирована, на нижней стороне задана температура в виде полинома, а боковая сторон либо теплоизолирована, либо на ней поддерживается нулевая температура, либо происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Для первых двух задач Дирихле — Неймана решение получается в виде полиномов. Для третьей задачи Дирихле — Неймана —Робена решение получается в виде суммы полинома и ряда. Если в этом решении ряд заменить его конечным отрезком, то получится приближенное решение задачи, которое приближенно удовлетворяет условию Робена на боковой стороне полубесконечного слоя.

Об авторах

О. Д. Алгазин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия
Алгазин Олег Дмитриевич


А. В. Копаев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия
Копаев Анатолий Владимирович


Список литературы

1. Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод: учеб. пособие. 2-е изд. М.: Наука, 1977. 664 с.

2. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.; Л.: Изд-во Акад. наук СССР, 1948. 729 с.

3. Карслоу Г.С., Егер Дж. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. М.: Наука, 1964. 487 с. [Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. 2nd ed. Oxf.: Clarendon Press, 1959. 510 p.].

4. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2001. 550 с.

5. Лыков А.В. Теория теплопроводности: учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1967. 600 с.

6. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

7. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 1. С. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13

8. Алгазин О.Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое // Математика и математическое моделирование. 2017. № 6. С. 1–18. DOI: 10.24108/mathm.0517.0000082

9. Алгазин О.Д. Построение методом подобия фундаментального решения задачи Дирихле для уравнения типа Келдыша в полупространстве // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2018. № 1. С. 4-15. DOI: 10.18698/1812-3368-2018-1-4-15

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 5-е изд. М.: Наука, 1971. 1108 с.


Для цитирования:


Алгазин О.Д., Копаев А.В. Смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в полубесконечном слое. Математика и математическое моделирование. 2020;(5):1-12. https://doi.org/10.24108/mathm.0520.0000229

For citation:


Algazin O.D., Kopaev A.V. A Mixed Boundary Value Problem for the Laplace Equation in a semi-infinite Layer. Mathematics and Mathematical Modeling. 2020;(5):1-12. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0520.0000229

Просмотров: 583


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)