Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Об одной дробно-дифференциальной модификации модели нелетучей нефти

https://doi.org/10.24108/mathm.0620.0000228

Полный текст:

Аннотация

Классические модели многофазной фильтрации, основанные на законе Дарси, достаточно хорошо исследованы и активно применяется в современном нефтяном инжиниринге. Однако, подобные модели не позволяют эффективно описывать процессы с эффектами степенной памяти или с эффектами пространственной нелокальности. В последние годы наблюдается значительный рост интереса к моделям с производными и интегралами дробного порядка, позволяющими учитывать подобные эффекты.

В статье рассматривается дробно-дифференциальное по пространству обобщение двухфазной модели нелетучей нефти. Данная модель построена на основе дробно-дифференциальной модификации закона фильтрации Дарси с потенциалом Рисса, который является одним из возможных обобщений понятия дробного интеграла на случай многомерного пространства. Использование такой модификации закона Дарси позволяет эффективно моделировать фильтрационные процессы в неоднородных трещиновато-пористых средах с эффектами пространственной нелокальности.

Для численного решения системы уравнений полученной модели предложено использование метода IMPES. Для этого из представленной системы уравнений выделено одно уравнение, описывающее эволюцию давления. Данное уравнение записано при условии пренебрежения изменением капиллярного давления в пределах шага по времени.

Рассмотрен частный случай уравнения на давление с потенциалом Рисса от радиальной функции, описывающий изменение давления в случае плоскорадиального течения. Для данного уравнения построено автомодельное решение с использованием метода интегрального преобразования Меллина. Получено представление данного решения в виде контурного интеграла Меллина-Барнса, что позволило записать его через функции Фокса. Показано, что в случае нулевой степени потенциала Рисса выполняется предельный переход к автомодельному решению классического уравнения теплопроводности. Построенное автомодельное решение может быть использовано в дальнейшем при программной реализации численного решения представленной модели.

Главным направлением дальнейших исследований является разработка и реализация программного вычислительного комплекса, основанного на предложенном дробно-дифференциальном обобщении двухфазной модели нелетучей нефти.

Об авторе

Н. С. Белевцов
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет, Уфа
Россия

Белевцов Никита Сергеевич

кафедра Высокопроизводительных Вычислительных Технологий и Систем



Список литературы

1. Fractional dynamics: recent advances / Ed. by J. Klafter, S.C. Lim, R. Metzler. New Jersey: World Scientific, 2012. 515 p. DOI: 10.1142/8087

2. Uchaikin V.V., Sibatov R. Fractional kinetics in solids: anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics and nanosystems. New Jersey: World Scientific, 2013. 257 p. DOI: 10.1142/8185

3. Caffarelli L., Vazquez J.L. Nonlinear porous medium flow with fractional potential pressure // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2011. Vol. 202. No. 2. Pp. 537-565. DOI: 10.1007/s00205-011-0420-4

4. Biler P., Imbert C., Karch G. Barenblatt profiles for a nonlocal porous medium equation // Comptes Rendus Mathematique. 2011. Vol. 349. No. 11-12. Pp. 641-645. DOI: 10.1016/j.crma.2011.06.003

5. Albinali A., Ozkan E. Anomalous diffusion approach and field application for fractured nano-porous reservoirs // SPE Annual technical conf. and exhibition (Dubai, UAE, September 26-28, 2016): Papers. Houston, TX: Soc. of Petroleum Engineers, 2016. Paper number SPE-181255-MS. DOI: 10.2118/181255-MS

6. Raghavan R., Chen C., DaCunha J.J. Nonlocal diffusion in fractured rocks // SPE Reservoir Evaluation & Engineering. 2017. Vol. 20. No. 2. Pp. 383-393. DOI: 10.2118/184404-PA

7. Yamazaki K. Remarks on the method of modulus of continuity and the modified dissipative Porous Media Equation // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250. No. 4. Pp. 1909-1923. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.007

8. Arbogast T., Douglas J. Jr., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. on Mathematical Analysis. 1990. Vol. 21. No. 4. Pp. 823-836. DOI: 10.1137/0521046

9. Samko S.G., Kilbas A.A, Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: theory and applications. Phil.: Gordon and Breach Science Publ., 1993. 976 p.

10. Zhangxin Chen. Formulations and numerical methods of the black oil model in porous media // SIAM J. on Numerical Analysis. 2000. Vol. 38. No. 2. Pp. 489-514. DOI: 10.1137/S0036142999304263

11. Advanced petroleum reservoir simulation: towards developing reservoir emulators / M.R. Islam a.o. 2nd ed. Hoboken: Wiley, 2016. 572 p.

12. Kilbas A.A., Saigo M. H-transforms: theory and applications. Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC, 2004. 389 p.

13. Belevtsov N.S., Lukashchuk S.Yu. Lie group analysis of 2‐dimensional space‐fractional model for flow in porous media // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2018. Vol. 41. No. 18. Pp. 9123-9133. DOI: 10.1002/mma.5078

14. Belevtsov N.S., Lukashchuk S.Yu. Symmetry group classification and conservation laws of the nonlinear fractional diffusion equation with the Riesz potential // Symmetry. 2020. Vol. 12. No. 1. Pp. 178-194. DOI: 10.3390/sym12010178

15. Рубин Б.С. Одномерное представление, обращение и некоторые свойства потенциалов Рисса от радиальных функций // Математические заметки. 1983. Т. 34. №. 4. С. 521-533.

16. Tables of integral transforms / Based and compiled by H. Bateman. In 2 vols. N.Y.: McGraw-Hill, 1954.

17. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amst.; Boston: Elsevier, 2006. 523 p.


Для цитирования:


Белевцов Н.С. Об одной дробно-дифференциальной модификации модели нелетучей нефти. Математика и математическое моделирование. 2020;(6):13-27. https://doi.org/10.24108/mathm.0620.0000228

For citation:


Belevtsov N.S. On a Space-Fractional Generalization of the Black Oil Model. Mathematics and Mathematical Modeling. 2020;(6):13-27. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0620.0000228

Просмотров: 65


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)