Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Третья краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто

https://doi.org/10.24108/mathm.0320.0000222

Полный текст:

Аннотация

В последнее время при описании различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется дифференциальным уравнениям с частными производными дробного порядка, которые являются обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка. При этом возможны различные постановки.

Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. В настоящее время широко используются численные методы решения нагруженных уравнений в частных производных целочисленного и дробного (пористые среды) порядков, поскольку аналитические методы решения оказываются невозможными.

В данной работе исследуется начально-краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто и условиями третьего рода. Для решения поставленной задачи в предположении существования точного решения в классе достаточно гладких функций методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи. В силу линейности рассматриваемой задачи эти неравенства позволяют утверждать сходимость приближенного решения к точному решению со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы. Построен алгоритм численного решения поставленной задачи.

Об авторах

М. Х. Бештоков
Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарский научный центр РАН, Нальчик
Россия

Бештоков Мурат Хамидбиевич

Ведущий научный сотрудник отдела Вычислительных методов



М. З. Худалов
Северо-Осетинский государственный университет, Владикавказ
Россия

Худалов Марат Захарович

Доцент кафедры прикладной математики



Список литературы

1. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus: theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. N.Y.: Academic Press, 1974. 234 p.

2. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. N.Y.: Wiley, 1993. 366 p.

3. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Academic Press, 1999. 340 p.

4. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 1. С. 86–94.

5. Будак Б.М., Искендеров А.Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176. № 1. С. 20–23.

6. Krall A.M The development of general differential and general differential- boundary systems // Rocky Mountain J. of Mathematics. 1975. Vol. 5. No. 4. Pp. 493–542.

7. Алиханов А.А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 5. С. 658–664.

8. Alikhanov A.A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. of Computational Physics. 2015. Vol. 280. Pp. 424–438. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031

9. Бештоков М.Х. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Герасимова — Капуто // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2018. № 10. С. 3–16. Режим доступа: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_35489206_98749978.pdf (дата обращения 19.08.2020).

10. Бештоков М.Х., Эржибова Ф.А. К краевым задачам для интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка // Математические труды. 2020. Т. 23. № 1. С. 16–36. DOI: 10.33048/mattrudy.2020.23.102

11. Beshtokov M.Kh., Khudalov M.Z. Difference methods of the solution of local and non-local boundary-value problems for loaded equation of thermal conductivity of fractional order // Stability, control and differential games. Cham: Springer, 2020. Pp. 187-201. DOI: 10.1007/978-3-030-42831-0_17

12. Самарский А.А. Теория разностных схем: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Наука, 1989. 616 c.


Для цитирования:


Бештоков М.Х., Худалов М.З. Третья краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто. Математика и математическое моделирование. 2020;(3):52-64. https://doi.org/10.24108/mathm.0320.0000222

For citation:


Beshtokov M.K., Khudalov M.Z. The Third Boundary Value Problem for a Loaded Thermal Conductivity Equation with a Fractional Caputo Derivative. Mathematics and Mathematical Modeling. 2020;(3):52-64. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0320.0000222

Просмотров: 1470


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)