О линейной независимости некоторых функций над полем рациональных дробей

В 1955 г. были опубликованы общие теоремы А.Б. Шидловского, которые позволяют свести проблему алгебраической независимости значений аналитических функций одного класса к более простой задаче алгебраической независимости этих функций. Т. к. обобщенные гипергеометрические функции с рациональными параметрами являются функциями, к которым применимы упомянутые общие теоремы, то появилось много работ, в которых устанавливалась алгебраическая независимость таких функций (и их производных). Результаты А.Б. Шидловского обобщают и развивают известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля. Кроме метода Зигеля для решения задач об арифметической природе значений аналитических функций используются также методы, основанные на эффективном построении линейных приближающих форм. С помощью таких методов были получены наиболее точные оценки линейных форм и были установлены многочисленные результаты, касающиеся арифметических свойств значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Это показывает, что эффективные методы имеют определенное значение для развития теории трансцендентных чисел. В последнее время в связи с исследованием арифметических свойств значений продифференцированных по параметру гипергеометрических функций потребовались результаты о линейной независимости таких функций над полем рациональных дробей. Подобные исследования проводились и раньше в связи с приложениями общих теорем А.Б. Шидловского, однако, поскольку при этом решалась более трудная задача об алгебраической независимости, приходилось рассматривать функции весьма частного вида. В настоящей работе изучается линейная независимость гипергеометрических функций, продифференцированных по параметру, причем этот параметр входит как в числитель, так и в знаменатель общего члена соответствующего степенного ряда. Установлено условие (в некоторых случаях являющееся необходимым и достаточным) линейной независимости таких функций, которое весьма удобно для проверки в конкретных случаях. Результаты статьи получены с помощью вычисления некоторых определителей, которые естественным образом возникают в связи с рассматриваемыми задачами. В дальнейшем доказанные в настоящей работе теоремы можно будет использовать для получения различных утверждений об арифметической природе значений соответствующих функций.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0817328

обобщенные гипергеометрические функции, дифференцирование по параметру, линейная независимость над полем рациональных дробей

1. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms// New Advances in Transcendence theory. Cambridge, New Rochell, Melbourne, Sydney. 1988. P. 207-215.

2. Иванков П.Л. О линейной независимости некоторых функций // Чебышевский сборник. Т. 11, вып. 1. 2010. С. 145-151.

3. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.

4. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых Е-функций // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, ме- ханика. 1967, № 2. С. 55-62.

5. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых гипергеометрических E-функций // Математический сборник. 1970. Т. 82 (124), № 3(7). С. 387-408.

6. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций одного класса // Сибирский математический журнал. 1973. Т. 14, № 1. С. 16-35.

7. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов // ДАН СССР. 1954. Т, 96, № 4. С. 697-700.

8. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов. Ученые записки МГУ. 1959. Выпуск 186. Математика 9. С. 11-70.

9. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых функций // Труды Московского математического об- щества. 1959. Т. 8. С. 283-320.

10. V¨a¨an¨anen K. On a cojecture of Mahler concerning the algebraic independence of the values of some E-functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math. 1972. V. 512. P. 3-46.

11. V¨a¨an¨anen K. On the transcendence and algebraic independence of the values of certain E-functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math. 1973. V. 537. P. 3-15.

12. Mahler K. Applications of a theorem by A.B.Shidlovski // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1968. V. 305. P. 149-173.

13. Mahler K. Lectures on Transcendental Numbers. Berlin: Springer Verlag. 1976.

14. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1, вып. 1. С. 191-206.

15. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1982.311 с.