Preview

Математика и математическое моделирование

Расширенный поиск

Наблюдатель состояния для модели кардиостимулятора на основе уравнения Ван дер Поля

https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000216

Полный текст:

Аннотация

Первая известная модель электрической активности сердца была предложена нидерландским физиологом и основоположником электрокардиографии В. Эйнтховеном [10]. Позже Ван дер Поль и Ван дер Марк [11] построили модель сердца, где сердцебиение рассматривается как релаксационное колебание. С этой точки зрения для моделирования работы кардиостимуляторов можно использовать уравнение Ван дер Поля [14,15,19]. В данной работе моделируется работа только одного узла сердца — сино-атриального узла (САУ), являющегося основным кардиостимулятором сердца [20].

Многие алгоритмы управления динамическими системами базируются на обратной связи, в которой задействуется полный вектор состояния динамической системы. Однако на практике полный вектор состояния известен не всегда. Так, в случае электрической активности сердца измеряют потенциалы узлов, а скорости их изменения не измеряются. Для восстановления полного вектора состояния по имеющимся измерениям часто применяют наблюдатели состояния.

В данной работе решается задача построения наблюдателя с линейной динамикой ошибки [22,25]. Необходимым условием существования такого наблюдателя является наблюдаемость системы. Достаточные условия можно сформулировать в рамках дифференциально-геометрического подхода [25] с использованием идей двойственности [25,26]. В рамках этого подхода можно разработать алгоритм построения наблюдателя. В работе для двумерных систем решается общая задача построения наблюдателя, затем полученные результаты применяются к модели кардиостимулятора на основе осциллятора Ван дер Поля. Работа построенного наблюдателя иллюстрируется путем численного моделирования.

Об авторах

М. С. Виноградова
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия
Виноградова Марина Станиславовна


А. Н. Канатников
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия
Канатников Анатолий Николаевич


О. С. Ткачева
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, Москва
Россия
Ткачева Ольга Сергеевна


Список литературы

1. Einthoven W.G., Fahr G., de Waart A.A.J. Uber die Richtung und die manifeste Grosse der Potentialschwankungen im menschlichen Herzen und uber den Einfluss der Herzlage auf die Form des Elektrokardiogramms // Pfluger’s Archiv fur die gesamte Physiologie des Menschen und der Tiere. 1913. Bd 150. No. 6-8. S. 275-315. DOI: 10.1007/BF01697566

2. Van der Pol B., van der Mark J. The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart // Philosophical Magazine. Ser. 7: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and J. of Science. 1928. Vol. 6. No. 38. Suppl. Pp. 763-775. DOI: 10.1080/14786441108564652

3. Nazari S., Heydari A., Khaligh J. Modified modeling of the heart by applying nonlinear oscillators and designing proper control signal // Applied Mathematics. 2013. No. 4. Pp. 972-978. DOI: 10.4236/am.2013.47134

4. Ryzhii E., Ryzhii M. Modeling of heartbeat dynamics with a system of coupled nonlinear oscillators // Biomedical informatics and technology: 1st Intern. conf. on biomedical informatics and technology: ACBIT 2013 (Aizu-Wakamatsu, Japan, Sept. 16-17, 2013): Revised selected papers. B.; Hdbl.: Springer, 2014. Pp. 66-75. DOI: 10.1007/978-3-642-54121-6_6

5. Grudzinski K., Zebrowski J.J. Modeling cardiac pacemakers with relaxation oscillators // Physica A. 2004. Vol. 336. No. 1-2. Pp. 153-162. DOI: 10.1016/j.physa.2004.01.020

6. Zebrowski J.J., Grudzinski K., Buchner T., Kuklik P., Gac J., Gielerak G., Sanders P., Baranowski R. Nonlinear oscillator model reproducing various phenomena in the dynamics of the conduction system of the heart // Chaos. 2007. Vol. 17. No. 1. Article 015121. DOI: 10.1063/1.2405128

7. Gois S.R.F.S.M., Savi M.A. An analysis of heart rhythm dynamics using a three-coupled oscillator model // Chaos, Solitons & Fractals. 2009. Vol. 41. No. 5. Pp. 2553-2565. DOI: 10.1016/j.chaos.2008.09.040

8. Петров В.С., Осипов Г.В. Влияние пассивных элементов на синхронизацию осцилляторных ансамблей // Изв. высш. учеб. заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. № 3. С. 46-59. DOI: 10.18500/0869-6632-2010-18-3-46-59

9. Das S., Maharatna K. Fractional dynamical model for the generation of ECG like signals from filtered coupled Van-der Pol oscillators // Computer Methods and Programs in Biomedicine. 2013. Vol. 112. No. 3. Pp. 490-507. DOI: 10.1016/j.cmpb.2013.08.012

10. Abbasi M.A., Javed A., Shahid M.B. Forced Van der Pol oscillator based modeling of cardiac pacemakers // 2012 Cairo Intern. Biomedical Engineering Conf.: CIBEC-2012 (Giza, Egypt, December 20-22, 2012): Proc. N.Y.: IEEE, 2013. Pp. 166-170. DOI: 10.1109/CIBEC.2012.6473294

11. Мурашко В.В., Струтынский А.В. Электрокардиография: учеб. пособ. 14-е изд. М.: МЕДпреcс-информ, 2017. 360 с.

12. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. М.: Физматлит, 2007. 224 с.

13. Besancon G. An overview on observer tools for nonlinear systems // Nonlinear observers and applications. B.; Hdbl.: Springer, 2007. Pp. 1-33. DOI: 10.1007/978-3-540-73503-8_1

14. Bestle D., Zeitz M. Canonical form observer design for non-linear time-variable systems // Intern. J. of Control. 1983. Vol. 38. No. 2. Pp. 419-431. DOI: 10.1080/00207178308933084

15. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Принцип разделения для аффинных систем // Дифференциальные уравнения. 2001. T. 37. No 11. C. 1468-1475.

16. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 с.

17. Krishchenko A.P., Tkachev S.B. Nonlinear k(x)-dual systems and observer design // IFAC Proc. Volumes. 2001. Vol. 34. No. 6. Pp. 1365-1370. DOI: 10.1016/S1474-6670(17)35378-8

18. Krener A.J., Isidori A. Linearization by output injection and nonlinear observers // Systems & Control Letters. 1983. Vol. 3. No. 1. Pp. 47-52. DOI: 10.1016/0167-6911(83)90037-3

19. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управления техническими системами: учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 492 с.

20. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления / Я.Я. Алексанкин и др.; под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1990. 334 c.


Для цитирования:


Виноградова М.С., Канатников А.Н., Ткачева О.С. Наблюдатель состояния для модели кардиостимулятора на основе уравнения Ван дер Поля. Математика и математическое моделирование. 2020;(1):16-32. https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000216

For citation:


Vinogradova M., Kanatnikov A., Tkacheva O. State Observer for the Pacemaker Model Based on the Van der Pol Equation. Mathematics and Mathematical Modeling. 2020;(1):16-32. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000216

Просмотров: 62


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2412-5911 (Online)