Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2020; : 15-28

Плотность интенсивности пространственно-временного пуассоновского потока с нулевой вероятностью наступления событий на стохастических подмножествах его пространственной области определения

Хуторцев В. В.

https://doi.org/10.24108/mathm.0320.0000214

Аннотация

Объект исследования: пространственно-временные пуассоновские потоки.

Предмет исследования: закономерности влияния характеристик стохастических подмножеств пространственной области определения пространственно-временного пуассоновского потока на его плотность интенсивности.

Цель работы: для пространственно-временного пуассоновского потока определить взаимосвязь между его плотностью интенсивности и характеристиками подобластей неоднородности пространственной области определения, на которой этот поток задан.

Решаемая задача: определение плотности интенсивности пространственно-временного пуассоновского потока, удовлетворяющей выбранному критерию, то есть условной плотности интенсивности, где в качестве условия выступает принадлежность точек пространства состояний потока стохастическим подобластям неоднородности.

Рассматривается пространственно-временной пуассоновский поток, пространственная областью определения которого содержит стохастические подобласти неоднородности. Для вывода выражения для плотности интенсивности потока используется критерий равенства нулю вероятности возникновения порождаемых этим потоком событий в подобластях неоднородности.

 Рассмотрен случай, когда положения центров подобластей неоднородности являются случайными, а их угловые положения относительно этих центров и формы на интервале анализа определены и неизменны.

Для их описания использованы плотности вероятностей центров подобластей неоднородности, в общем случае меняющиеся во времени. Доказана теорема, обосновывающая структуру плотности интенсивности пространственно-временного пуассоновского потока со стохастической неоднородной пространственной области определения. Показана взаимосвязь этой характеристики с вероятностными характеристиками параметров подобластей неоднородности.

Приведены примеры, иллюстрирующие порядок определения плотностей интенсивности пространственно-временных пуассоновских потоков как для стохастической так и детерминированной структуры подобластей неоднородности. Показано, что для стохастического случая учет случайного характера их местоположения приводит к решению, существенно отличающемуся от сингулярного случая.

 Определена область возможного практического использования полученных результатов для задач, связанных с поиском объектов наблюдения.

Список литературы

1. Daley D.J., Vere-Jones D. An introduction to the theory of point processes. 2nd ed. Vol. 1-2. N.Y.: Springer, 2003 - 2008. 702 p.

2. Last G. Perturbation analysis of Poisson processes // Bernoulli. 2014. Vol. 20. No. 2. Pp. 486–513. DOI: 10.3150/12-BEJ494

3. Last G. Stochastic analysis for Poisson processes // Stochastic analysis for Poisson point processes. Cham: Springer, 2016. Pp. 1–36. DOI: 10.1007/978-3-319-05233-5_1

4. Dabrowski A., Ivanoff G., Kulik R. Some notes on Poisson limits for empirical point processes // Canadian J. of Statistics. 2009. Vol. 37. No. 3. Pp. 347–360.

5. Grandell J. Mixed Poisson processes. L.; N.Y.: Chapman & Hall, 1997. 268 p.

6. Orsingher E., Polito F. Compositions, random sums and continued random fractions of Poisson and fractional Poisson processes // J. of Statistical Physics. 2012. Vol. 148. No. 2. Pp. 233-249. DOI: 10.1007/s10955-012-0534-6

7. Кингман Дж.Ф.Ч. Пуассоновские процессы: пер. с англ. М.: Изд-во МЦНМО, 2007. 133 с. [Kingman J.F.C. Poisson processes. Oxf.: Clarendon Press, 1993. 104 p.].

8. Баранов И.В., Хуторцев В.В. Текущая оптимизация поиска объектов для модели распределенного пуассоновского потока их появления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2011. № 6. С. 3-13. Режим доступа: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_17237991_92372414.pdf (дата обращения 18.08.2020).

9. Хуторцев В.В. Оптимизация последовательно-параллельного поиска объектов для модели распределенного пуассоновского потока их появления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2019. № 1. С. 31-41. DOI: 10.1134/S0002338819010098

10. Хеллман О. Введение в теорию оптимального поиска: пер с англ. М.: Наука, 1985. 246 с.

11. Adler R.J., Taylor J.E., Worsley K.J. Applications of random fields and geometry: Foundations and case studies. Dep. of Mathematics and Statistics McGill Univ.; Montreal, Canada, Dep. of Statistics Univ. of Chicago, Chicago, Illinois, 2015. 256 p.

12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: учебник. 5-е изд. М.: Наука, 1981. 543 с.

13. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С. Королюк и др. 2-е изд. М.: Наука, 1985. 640 с.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2020; : 15-28

Space-time Poisson Flow Intensity Density with Zero Occurrence Probability on Stochastic Subsets of Its Spatial Definition Domain

Khutortsev V. V.

https://doi.org/10.24108/mathm.0320.0000214

Abstract

Object of research: space-time Poisson flows.

Subject of research: influence patterns of the stochastic subset characteristics of the spatial definition domain of the space-time Poisson flow on its intensity density.

Work objective: to determine a relationship between the space-time Poisson flow intensity density and the characteristics of the inhomogeneity subdomains of the spatial definition domain where this flow is specified.

A problem to be solved: to determine the space-time Poisson flow intensity density to meet a selected criterion, i.e. a conditional intensity density, where the condition is that the points in the flow state space belong to the stochastic inhomogeneity subdomains.

We consider a space-time Poisson flow whose spatial domain contains stochastic subdomains of inhomogeneity. An equality criterion to zero occurrence probability generated by this flow in the inhomogeneity subdomains is used to derive an expression for the flow intensity density.

The case has been considered when positions of inhomogeneity subdomain centers are random, and their angular positions relative to these centers and their shapes are defined and unchanged at analysis interval.

To describe them, we used the probability densities of the inhomogeneity subdomain centers, which are time variant. A theorem is proved that substantiates the structure of the intensity density of the space-time Poisson flow with a stochastic inhomogeneous spatial domain of definition. The relationship of this characteristic with the probabilistic characteristics of inhomogeneity subdomain parameters is shown.

Examples are given to illustrate a procedure for determining the intensity densities of space-time Poisson flows for both stochastic and deterministic structures of inhomogeneity subdomains. It is shown that for the stochastic case, taking into account the random nature of their location leads to a solution significantly different from the singular case.

The scope of possible practical use of the results obtained for tasks related to the search for objects of observation is determined.

References

1. Daley D.J., Vere-Jones D. An introduction to the theory of point processes. 2nd ed. Vol. 1-2. N.Y.: Springer, 2003 - 2008. 702 p.

2. Last G. Perturbation analysis of Poisson processes // Bernoulli. 2014. Vol. 20. No. 2. Pp. 486–513. DOI: 10.3150/12-BEJ494

3. Last G. Stochastic analysis for Poisson processes // Stochastic analysis for Poisson point processes. Cham: Springer, 2016. Pp. 1–36. DOI: 10.1007/978-3-319-05233-5_1

4. Dabrowski A., Ivanoff G., Kulik R. Some notes on Poisson limits for empirical point processes // Canadian J. of Statistics. 2009. Vol. 37. No. 3. Pp. 347–360.

5. Grandell J. Mixed Poisson processes. L.; N.Y.: Chapman & Hall, 1997. 268 p.

6. Orsingher E., Polito F. Compositions, random sums and continued random fractions of Poisson and fractional Poisson processes // J. of Statistical Physics. 2012. Vol. 148. No. 2. Pp. 233-249. DOI: 10.1007/s10955-012-0534-6

7. Kingman Dzh.F.Ch. Puassonovskie protsessy: per. s angl. M.: Izd-vo MTsNMO, 2007. 133 s. [Kingman J.F.C. Poisson processes. Oxf.: Clarendon Press, 1993. 104 p.].

8. Baranov I.V., Khutortsev V.V. Tekushchaya optimizatsiya poiska ob\"ektov dlya modeli raspredelennogo puassonovskogo potoka ikh poyavleniya // Izv. RAN. Teoriya i sistemy upravleniya. 2011. № 6. S. 3-13. Rezhim dostupa: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_17237991_92372414.pdf (data obrashcheniya 18.08.2020).

9. Khutortsev V.V. Optimizatsiya posledovatel'no-parallel'nogo poiska ob\"ektov dlya modeli raspredelennogo puassonovskogo potoka ikh poyavleniya // Izv. RAN. Teoriya i sistemy upravleniya. 2019. № 1. S. 31-41. DOI: 10.1134/S0002338819010098

10. Khellman O. Vvedenie v teoriyu optimal'nogo poiska: per s angl. M.: Nauka, 1985. 246 s.

11. Adler R.J., Taylor J.E., Worsley K.J. Applications of random fields and geometry: Foundations and case studies. Dep. of Mathematics and Statistics McGill Univ.; Montreal, Canada, Dep. of Statistics Univ. of Chicago, Chicago, Illinois, 2015. 256 p.

12. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza: uchebnik. 5-e izd. M.: Nauka, 1981. 543 s.

13. Spravochnik po teorii veroyatnostei i matematicheskoi statistike / V.S. Korolyuk i dr. 2-e izd. M.: Nauka, 1985. 640 s.