Плотность интенсивности пространственно-временного пуассоновского потока с нулевой вероятностью наступления событий на стохастических подмножествах его пространственной области определения

Объект исследования: пространственно-временные пуассоновские потоки.

Предмет исследования: закономерности влияния характеристик стохастических подмножеств пространственной области определения пространственно-временного пуассоновского потока на его плотность интенсивности.

Цель работы: для пространственно-временного пуассоновского потока определить взаимосвязь между его плотностью интенсивности и характеристиками подобластей неоднородности пространственной области определения, на которой этот поток задан.

Решаемая задача: определение плотности интенсивности пространственно-временного пуассоновского потока, удовлетворяющей выбранному критерию, то есть условной плотности интенсивности, где в качестве условия выступает принадлежность точек пространства состояний потока стохастическим подобластям неоднородности.

Рассматривается пространственно-временной пуассоновский поток, пространственная областью определения которого содержит стохастические подобласти неоднородности. Для вывода выражения для плотности интенсивности потока используется критерий равенства нулю вероятности возникновения порождаемых этим потоком событий в подобластях неоднородности.

 Рассмотрен случай, когда положения центров подобластей неоднородности являются случайными, а их угловые положения относительно этих центров и формы на интервале анализа определены и неизменны.

Для их описания использованы плотности вероятностей центров подобластей неоднородности, в общем случае меняющиеся во времени. Доказана теорема, обосновывающая структуру плотности интенсивности пространственно-временного пуассоновского потока со стохастической неоднородной пространственной области определения. Показана взаимосвязь этой характеристики с вероятностными характеристиками параметров подобластей неоднородности.

Приведены примеры, иллюстрирующие порядок определения плотностей интенсивности пространственно-временных пуассоновских потоков как для стохастической так и детерминированной структуры подобластей неоднородности. Показано, что для стохастического случая учет случайного характера их местоположения приводит к решению, существенно отличающемуся от сингулярного случая.

 Определена область возможного практического использования полученных результатов для задач, связанных с поиском объектов наблюдения.

1. Daley D.J., Vere-Jones D. An introduction to the theory of point processes. 2nd ed. Vol. 1-2. N.Y.: Springer, 2003 - 2008. 702 p.

2. Last G. Perturbation analysis of Poisson processes // Bernoulli. 2014. Vol. 20. No. 2. Pp. 486–513. DOI: 10.3150/12-BEJ494

3. Last G. Stochastic analysis for Poisson processes // Stochastic analysis for Poisson point processes. Cham: Springer, 2016. Pp. 1–36. DOI: 10.1007/978-3-319-05233-5_1

4. Dabrowski A., Ivanoff G., Kulik R. Some notes on Poisson limits for empirical point processes // Canadian J. of Statistics. 2009. Vol. 37. No. 3. Pp. 347–360.

5. Grandell J. Mixed Poisson processes. L.; N.Y.: Chapman & Hall, 1997. 268 p.

6. Orsingher E., Polito F. Compositions, random sums and continued random fractions of Poisson and fractional Poisson processes // J. of Statistical Physics. 2012. Vol. 148. No. 2. Pp. 233-249. DOI: 10.1007/s10955-012-0534-6

7. Кингман Дж.Ф.Ч. Пуассоновские процессы: пер. с англ. М.: Изд-во МЦНМО, 2007. 133 с. [Kingman J.F.C. Poisson processes. Oxf.: Clarendon Press, 1993. 104 p.].

8. Баранов И.В., Хуторцев В.В. Текущая оптимизация поиска объектов для модели распределенного пуассоновского потока их появления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2011. № 6. С. 3-13. Режим доступа: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_17237991_92372414.pdf (дата обращения 18.08.2020).

9. Хуторцев В.В. Оптимизация последовательно-параллельного поиска объектов для модели распределенного пуассоновского потока их появления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2019. № 1. С. 31-41. DOI: 10.1134/S0002338819010098

10. Хеллман О. Введение в теорию оптимального поиска: пер с англ. М.: Наука, 1985. 246 с.

11. Adler R.J., Taylor J.E., Worsley K.J. Applications of random fields and geometry: Foundations and case studies. Dep. of Mathematics and Statistics McGill Univ.; Montreal, Canada, Dep. of Statistics Univ. of Chicago, Chicago, Illinois, 2015. 256 p.

12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: учебник. 5-е изд. М.: Наука, 1981. 543 с.

13. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С. Королюк и др. 2-е изд. М.: Наука, 1985. 640 с.